Следующая
теорема показывает, что в кольцах главных идеалов справедливы все утверждения о
наибольших общих делителях, доказанные для кольца целых
чисел.
Теорема 16. Пусть R - кольцо главных идеалов. Тогда: а) любые два элемента a и b этого кольца имеют хотя бы один наибольший общий делитель;
б) все наибольший делители элементов a и b ассоциированы друг с другом;
в) если
d - наибольший общий делитель элементов a и b,
то в R найдутся
такие элементы r и
s, что .
Доказательство.
Пусть . Обозначим через I наибольший общий делитель главных идеалов (a) и (b), который
существует в силу теоремы 14. Так как R - кольцо
главных идеалов, то существует
такой, что
. Докажем, что d
- наибольший общий делитель a и b. По теореме 14 идеал I
является объединением идеалов
и
, поэтому
и
, откуда
и
, т.е. d
- общий делитель a и b.
Пусть d1 делит a
и b, т.е.
и
, где
.
Так как
, то, как следует из следствия
теоремы 14,
с некоторыми
.
Тогда
, откуда
.
Поэтому d - наибольший общий делитель, а
равенство
доказывает пункт в) теоремы.
Пусть d1 и d2
- два наибольших общих делителя и
. Тогда
и
, а потому d1
и d2 - ассоциированные элементы в R, как следует из теоремы 10. Теорема доказана.
Из теоремы 16
следует, что наибольший общий делитель d
элементов a и b определен
лишь с точностью до обратимого множителя. Поэтому запись понимается так: элемент d является одним из наибольших общих делителей элементов a и b.
Элементы a и b кольца главных
идеалов R называются взаимно простыми, если
- обратимый элемент.
Задача 5.
Показать, что в кольце число 7 является
составным.
Теорема 17.
Если , причем элементы a и c
взаимно просты, то
.
Доказательство.
По теореме 16 существуют u и v из R, что . Умножая обе части этого равенства
на b, получим:
(17)
В левой части равенства (17) оба
слагаемых делятся на c, а потому и b делится на c, т.е. . Теорема доказана.
Теорема 18. Если элемент a кольца главных идеалов R не делится на простой элемент p того же кольца, то a и p взаимно просты.
Доказательство.
Пусть . Тогда
,
и, поскольку p
- простой элемент, либо d, либо r обратимы. Если r -
обратимый элемент, то из
следует
(так как в этом случае p и d ассоциированы)
вопреки предположению. Значит, обратимым элементом является d, а тогда a и p взаимно просты.
Теорема 19.
Если произведение ab делится
на простой элемент p кольца
главных идеалов, то или
.
Доказательство.
Если , то теорема доказана. Если
, то a
и p взаимно просты. А тогда из
следует, что
(см.
теорему 17).
С помощью
метода математической индукции делаем следующий вывод: из делимости
произведения на простой элемент p вытекает делимость хотя бы одного сомножителя на p.
Теорема 20
(об обрыве цепочек). В кольце главных идеалов R последовательность элементов в
которой каждый элемент является собственным делителем предыдущего (т.е.
, причем b
не является обратимым элементом), может содержаться лишь конечное число
элементов.
Доказательство.
Обозначим через главный идеал, порожденный
элементом ak. Так как по условию
- собственный делитель
, то для любого k
имеем
, причем
.
Мы получили
возрастающую цепочку идеалов . По теореме 15
- идеал, а так как R - кольцо главных идеалов, то I
- главный идеал, т.е. существует элемент d
такой, что
. Элемент d
должен лежать в некотором элементе цепочки, скажем в
, а тогда
. Но
(т.е.
, что противоречит условию). Отсюда
заключаем, что цепочка обрывается на
.
Теорема 21. Любой элемент a кольца главных идеалов R, отличный от нуля и обратимых элементов, либо является простым, либо представляется в виде произведения простых элементов и притом единственным способом с точностью до порядка сомножителей и до умножения их на обратимые элементы.
Доказательство.
Докажем сначала существование разложения элемента на
простые множитнли. Пусть
. Если элемент a простой, то теорема доказана.
Пусть a - составной элемент. Тогда ,
где b1 и c1
- собственные делители a. Если оба элемента b1 и c1
простые, то теорема доказана. Пусть по крайней мере один из этих элементов,
например b1, составной. Тогда
, где b2
и c2 - собственные делители b1. Если b2,
c2 и c1
простые, то
и теорема доказана. Если один из этих
сомножителей составной, то разлагаем его на множители, являющиеся собственными
делителя этого составного элемента. Тогда возможно одно из двух: либо через
конечное число шагов мы получим разложение элемента a
на простые сомножители, либо мы получим бесконечную последовательность
элементов, из которых каждый последующий является собственным делителем
предыдущего. Но последний вариант исключается теоремой 20. Возможность
разложения a на простые сомножители доказана.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.