Делимость многочленов. Факториальное кольцо. Наибольший общий делитель главных идеалов

Следующая теорема показывает, что в кольцах главных идеалов справедливы все утверждения о наибольших общих делителях, доказанные для кольца  целых чисел.

Теорема 16. Пусть R - кольцо главных идеалов. Тогда: а) любые два элемента a и b этого кольца имеют хотя бы один наибольший общий делитель;

б) все наибольший делители элементов a и b ассоциированы друг с другом;

в) если d - наибольший общий делитель элементов a и b, то в R найдутся такие элементы r и s, что .

Доказательство. Пусть . Обозначим через I наибольший общий делитель  главных идеалов (a) и (b), который существует в силу теоремы 14. Так как R - кольцо главных идеалов, то существует  такой, что . Докажем, что d - наибольший общий делитель a и b. По теореме 14 идеал I является объединением идеалов  и , поэтому  и , откуда  и , т.е. d - общий делитель a и b. Пусть d₁ делит a и b, т.е.  и , где . Так как , то, как следует из следствия теоремы 14,  с некоторыми . Тогда , откуда . Поэтому d - наибольший общий делитель, а равенство  доказывает пункт в) теоремы.

Пусть d₁ и d₂ - два наибольших общих делителя   и . Тогда  и , а потому d₁ и d₂ - ассоциированные элементы в R, как следует из теоремы 10. Теорема доказана.

Из теоремы 16 следует, что наибольший общий делитель d элементов a и b определен лишь с точностью до обратимого множителя. Поэтому запись  понимается так: элемент d является одним из наибольших общих делителей элементов a и b.

Элементы a и b кольца главных идеалов R называются взаимно простыми, если  - обратимый элемент.

Задача 5. Показать, что в кольце  число 7 является составным.

Теорема 17. Если , причем элементы a и c взаимно просты, то .

Доказательство. По теореме 16 существуют u и v из R, что . Умножая обе части этого равенства на b, получим:

                                                      (17)

В левой части равенства (17) оба слагаемых делятся на c, а потому и b делится на c, т.е. . Теорема доказана.

Теорема 18. Если элемент a кольца главных идеалов R не делится на простой элемент p того же кольца, то a и p взаимно просты.

Доказательство. Пусть . Тогда ,  и, поскольку p - простой элемент, либо d, либо r обратимы. Если r - обратимый элемент, то из  следует  (так как в этом случае p и d ассоциированы) вопреки предположению. Значит, обратимым элементом является d, а тогда a и p взаимно просты.

Теорема 19. Если произведение ab делится на простой элемент p кольца главных идеалов, то  или .

Доказательство. Если , то теорема доказана. Если , то a и p взаимно просты. А тогда из  следует, что  (см. теорему 17).

С помощью метода математической индукции делаем следующий вывод: из делимости произведения  на простой элемент p вытекает делимость хотя бы одного сомножителя на p.

Теорема 20 (об обрыве цепочек). В кольце главных идеалов R последовательность элементов  в которой каждый элемент является собственным делителем предыдущего (т.е. , причем b не является обратимым элементом), может содержаться лишь конечное число элементов.

Доказательство. Обозначим через  главный идеал, порожденный элементом a_k. Так как по условию  - собственный делитель , то для любого k имеем , причем .

Мы получили возрастающую цепочку идеалов . По теореме 15  - идеал, а так как R - кольцо главных идеалов, то I - главный идеал, т.е. существует элемент d такой, что . Элемент d должен лежать в некотором элементе цепочки, скажем в , а тогда . Но  (т.е. , что противоречит условию). Отсюда заключаем, что цепочка обрывается на .

Теорема 21. Любой элемент a кольца главных идеалов R, отличный от нуля и обратимых элементов, либо является простым, либо представляется в виде произведения простых элементов и притом единственным способом с точностью до порядка сомножителей и до умножения их на обратимые элементы.

Доказательство. Докажем сначала существование разложения элемента  на простые множитнли. Пусть . Если элемент a простой, то теорема доказана.

Пусть a - составной элемент. Тогда , где b₁ и c₁ - собственные делители a. Если оба элемента b₁ и c₁ простые, то теорема доказана. Пусть по крайней мере один из этих элементов, например b₁, составной. Тогда , где b₂ и c₂ - собственные делители b₁. Если b₂, c₂ и c₁ простые, то  и теорема доказана. Если один из этих сомножителей составной, то разлагаем его на множители, являющиеся собственными делителя этого составного элемента. Тогда возможно одно из двух: либо через конечное число шагов мы получим разложение элемента a на простые сомножители, либо мы получим бесконечную последовательность элементов, из которых каждый последующий является собственным делителем предыдущего. Но последний вариант исключается теоремой 20. Возможность разложения a на простые сомножители доказана.