Делимость многочленов. Факториальное кольцо. Наибольший общий делитель главных идеалов, страница 2

Докажем единственность разложения элемента a на простые сомножители. Допустим, что

,                                         (18)

где p_i и q_j - простые элементы. Без ограничения общности можем предположить, что . Так как произведение  делится на простой элемент p₁, то по теореме 19 хотя бы один из сомножителей должен делиться на p₁. Изменив в случае необходимости нумерацию множителей q, можем считать, что q₁ делится на p₁. Так как q₁ - простой элемент, то , где c₁ - обратимый элемент. Заменяя q₁ на c₁p₁, деля обе части равенства (18) на p₁ (что можно делать в области целостности), приходим к равенству:

.                                                   (19)

Аналогично получим, что . Подставляя вместо q₂ в правую часть (19) c₂p₂ и деля обе части равенства (19) на p₂, получим . Продолжая деление на элементы p_i мы через r шагов получим в итоге равенство:

.                                                      (20)

Но равенство (20) невозможно, если  - простые элементы, так как простые элементы не являются обратимыми. Значит , в левой  и правой частях равенства (18) мы имеем одинаковое число одинаковых простых элементов с точностью до обратимых множителей c_i. Теорема доказана.

Кольцо называется факториальным (или кольцом с однозначным разложением на множители), если оно явлется областью целостности и если всякий элемент  имеет однозначное разложение на неприводимые элементы. Доказанная выше теорема 21 утверждает, что кольцо главных идеалов является факториальным кольцом.

Упражнение 12. В кольце Z найдите: 1) (3)+(4); 2) (3)Ç(4); 3) (3)°(4); 4) (3) : (4); 5) (4) : (3); 6) (3)+(6); 7) (3) Ç(6); 8) (3) °(6); 9) (3) : (6); 10) (6) : (3); 11) (4)+(6); 12) (4) Ç(6); 13) (4)°(6); 14) (4) : (6); 15) (6) : (4).

4.4. Делимость многочленов.

Теорема 22 (алгоритм Евклида). Пусть K - коммутативное кольцо,  - многочлены степени . Предположим, что старший коэффициент многочлена g является обратимым элементом в K. Тогда существуют однозначно определенные многочлены , такие, что  и .

Доказательство. Пусть , , где , , так что  и  - обратим  в K. Применим индукцию по n.

Если  и , то положим , . Если  , то положим  и .

Предположим, что теорема доказана для многочленов степени  (где ). Мы можем предполагать, что  (иначе возьмем  и ). Тогда   , где  имеет степень . По индукции мы можем найти q₁, r, такие, что  и . Положим , чем доказательство существования q, r и закончено.

Что касается единственности, то предположим, что , где  и . Тогда . Так как по предположению старший коэффициент g обратим, то  . Поскольку , то предыдущее соотношение может выполняться только при , т.е.  и, следовательно, , что и требовалось показать.

В условии теоремы требуется обратимость элемента b_m. Это можно заменить более слабым условием: необходимо, чтобы элемент a_n делился на  в кольце K, так как необходимо произвести, как следует из доказательства теоремы, деление с остатком f(x) на g(x) (, где  имеет степень , т.е. при делении степень остатка уменьшается на единицу)   раз, чтобы получить искомые q и r. Если же умножить f(x) на , то старший коэффициент полученного многочлена будет обладать таким свойством, т.е. делиться  раз на b_m. Поэтому справедливо следующее следствие.

Следствие. Пусть K - коммутативное кольцо,  - многочлены степени , , , где , , так что , . Тогда существуют однозначно определенные многочлены , такие, что  и .

Пример 13. Многочлен  нельзя разделить на многочлен , т.к. 2 - необратимый элемент в кольце Z. Однако, многочлен  уже можно разделить на g(x) с остатком. Произведем деление "уголком".

                    24x³ + 16x  - 8         2x+3

                    24x³ +36x²               12x² -18x -35

-36x² + 16x -8

                         -36x² -  54x

-70x - 8

                                     -70x - 105

97

Итак, . Если следовать ходу доказательства теоремы 22, то здесь, на первом шаге деления, многочлен  соответствует многочлену f₁(x) из этой теоремы.

Теорема 23. Пусть R - поле. Тогда кольцо многочленов R[x] является кольцом главных идеалов.

Доказательство. Пусть I - идеал в R[x], причем . Пусть g - элемент из I наименьшей степени  и f - любой отличный от нуля элемент из I. Согласно алгоритму Евклида (т.е. теореме 22) мы можем найти , такие, что  и . Но , следовательно, r лежит в I. Так как g имеет минимальную степень , то ; значит, I состоит из всех многочленов вида qg (где ). Это доказывает нашу теорему.

Следствие. Кольцо R[x] факториально.