Вычисление наибольшего общего делителя и коэффициентов его линейного выражения. Результант. Наименьшее общее кратное

взаимно просты, то существуют такие многочлены u и v, что

, , .                                  (25)

Обратно, если существуют многочлены u и v, удовлетворяющие условиям (25), то многочлен , являющийся общим кратным многочленов f и g, имеет степень, меньшую, чем степень произведения fg. Степень наименьшего общего кратного в этом случае тем более меньше степени fg, и, значит, многочлены f и g не являются взаимно простыми.

Итак, вопрос о взаимной простоте многочленов f и g сводится к вопросу о существовании многочленов u и v, удовлетворяющих условиям (25). Выясним, когда такие многочлены существуют. Запишем их в общем виде: , . Предположим для определенности, что . Каждое из произведений fu, gv представляет собой многочлен степени не выше . Коэффициенты многочлена fu, записанные в столбец, имеют вид

Коэффициенты многочлена gv имеют вид

Приравнивая коэффициенты многочленов fu и gv при одинаковых степенях x, получаем систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных . Число уравнений этой системы равно , т.е. числу неизвестных. Если перенести все члены с  в левую часть, то получится следующая матрица коэффициентов при неизвестных:

Рассматриваемая система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. При его вычислении можно для удобства умножить на -1 последние n столбцов и транспонировать матрицу. Полученный определитель

                        (26)

называется результантом многочленов f и g.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 27. Многочлены  не являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда их результант , определяемый формулой (26), равен нулю.

Замечание. Если не предполагать, что коэффициенты a₀, b₀ отличны от нуля, то обращение в нуль определителя (26) остается необходимым условием того, чтобы многочлены f и g не были взаимно просты. В самом деле, если f и g не взаимно просты, то существуют такие ненулевые многочлены u и v, что , , . Поскольку мы не предполагаем, что  и , нельзя утверждать, что  и , но, во всяком случае, , . Поэтому многочлены u и v тем более удовлетворяют условиям (25), а из существования таких многочленов так же, как и выше, следует, что определитель (26) равен нулю.

Пример 17. Вычислим результант многочленов ,  (с действительными коэффициентами) и выясним, являются ли они взаимно простыми.

Искомый результант имеет вид

Вычисляя этот определитель, находим, что ; следовательно, многочлены f и g взаимно просты.

Упражнение 14. При каком значении  многочлены имеют общий корень:

1.   и .

2.   и .

3.   и .

4.   и .

5.   и .

6.   и .

7.   и .

8.   и .

9.   и .

10.  и .

11.  и .

12.  и .

13.  и .

14.  и .

6. Производная многочлена. Формула Тэйлора.

6.1. Производная многочлена.

В курсе математического анализа доказывается, что производная многочлена есть снова многочлен, причем если

                                     (27)

то

.                                      (28)

В применении к многочленам с коэффициентами из произвольного поля P определение производной, даваемое в математическом анализе, теряет смысл, так как оно опирается на понятие предела. Остается другой, формальный путь: принять формулу (28) за определение производной. Коэффициент  при  в этой формуле следует понимать как . Если характеристика[1] поля P равна нулю, то  для любого  и, значит,  при . В этом случае производная многочлена степени  является многочленом степени . Напротив, если характеристика поля P положительна, степень многочлена при дифференцировании может уменьшиться больше чем на единицу. Может даже случиться, что производная многочлена положительной степени будет нулевым многочленом. Например, пусть . Тогда .

Докажем некоторые свойства дифференцирования многочленов с коэффициентами из кольца K.

Свойство 1. Множитель  можно вынести за знак дифференциала.