Частные виды подобных преобразований плоскости. Центрально-подобное вращение. Центрально-подобная симметрия, страница 5

    .                                 (13)

Заметим, что при ε = 1 (подобие первого рода) система (13) совпадает по виду с (9), то есть задает центрально-подобное вращение (Рис.39). При ε = - 1 (подобие второго рода) система (13) приобретает вид (10), то есть описывает центрально-подобную симметрию (Рис.40).

Эти факты положим в основу классификации, рассматривая отдельно подобия первого рода (сохраняющие ориентацию фигур) и подобия второго рода (меняющие ориентацию).

       Подобия первого рода. Всевозможные  преобразования будем «перебирать» по количеству их неподвижных точек. Например, если неподвижных точек 0 (нет), то, согласно следствию, это – движение. Среди движений первого рода (см. таблицу 1) неподвижных точек не имеет только параллельный перенос (это название заносим в таблицу 4).

Если неподвижная точка одна, то о коэффициенте подобия что-нибудь конкретное сказать нельзя. К выводу 1  обратное утверждение не будет справедливым: единственная неподвижная точка может иметь место как при  | k | = 1 (поворот), так и при | k | ≠ 1 (центрально-подобное вращение). Впрочем, этими двумя исчерпываются все варианты (см. таблицу 1  и  вывод 2). Поскольку поворот является частным случаем (при | k | = 1 ) центрально-подобного вращения, то последнее (как обобщение) и запишем в таблицу 4.

Если неподвижных точек две, то, согласно следствию, имеем движение. Но  среди движений первого рода (см. таблицу 1) такими свойствами обладает лишь тождественное преобразование, а у него неподвижны и все остальные точки. Значит, в графу «количество…» заносим символ ∞ , завершая перебор.

Подобия второго рода. Если неподвижных точек 0(нет), то это – движение, а, значит (см. таблицу 1), скользящее отражение.

Если неподвижная точка одна, то таких движений второго рода не бывает, поэтому единственный вариант - «центрально-подобная симметрия».

Если неподвижных точек две, то, согласно следствию, получаем | k | = 1. Но из движений второго рода подходит лишь осевая симметрия, и то она имеет бесконечно много неподвижных точек. Записывая в таблицу 4 это название и символ ∞, тем самым завершаем перебор всех возможных подобий.    

Таблица 4.