Замечание. Композиция двух подобий плоскости равносильна некоторому одному подобию.
Доказательство. Если последовательно выполнить два преобразования подобия (с коэффициентами k1 и k2), то в результате сквозь два этапа преобразований все расстояния между точками в их образах сначала изменяется в k1 раз, а затем в k2 раз. Так что композицией двух подобий окажется снова подобное преобразование с коэффициентом k = k1k2 . Ч.т.д.
Теорема. Для любых двух подобных треугольников существует и притом единственное преобразование подобия, при котором второй треугольник станет образом первого.
Доказательство проводим в два этапа: сначала покажем, что нужное преобразование существует, а потом обоснуем его единственность.
1). Существование. Для заданных подобных треугольников ∆А1В1С1 и ∆А2В2С2
|
Рис.41 |
Искомое
подобие сконструируем из двух преобразований (Рис.41). Вначале
вычислим коэффициент k=А2В2 /А1В1 и
произведем гомотетию |
Найденная композиция 
послужит искомым
преобразованием подобия P : ∆А1В1С1 → ∆А2В2С2
.
2) Единственность понимаем в том смысле, что если ∆А1В1С1 отобразится в ∆А2В2С2 , то тем самым однозначно предопределится судьба каждой точки плоскости, единственно возможная. Действительно, произвольную точку М1 можно соотнести с ∆А1В1С1 (замерив расстояния до вершин А1 и В1). Тогда образ М2 станет вершиной ∆А2В2М2, построенного на стороне А2В2 «засечками» циркуля из условий А2М2 = k A1M1 , B2M2 = k B1M1, то есть единственно возможным способом. Ч.т.д.
Следствие. Всякое подобие удается представить в виде композиции гомотетии и движения.
Следствие. Подобное преобразование не искажает формы фигур: плоскость как бы «растягивается равномерно во все стороны», а затем «перемещается» без деформаций. Всякая фигура отображается в ей подобную.
Далее выведем формулы пересчета координат точек при подобном преобразовании в общем случае. Из доказанной выше теоремы следует, что задать некоторое конкретное подобие плоскости можно путем предъявления двух подобных треугольников (как образ и прообраз). Пусть это будут те же треугольники ∆А1В1С1 и ∆А2В2С2 , что и на рис.41.
Введем декартову систему координат с началом в вершине А1, направляя
ось х вдоль стороны А1С1 (Рис.42). При таком расположении
координатных осей аналитическое представление окажется наиболее простым, так
как для каждого из двух этапов композиции ,
отображающей ∆А1В1С1 в ∆А2В2С2
, уже готовы формулы. Система (8) справедлива для гомотетии с центром в начале
координат, а уравнения (6) получены при аналогичном задании системы координат
(Рис.12) по отношению к треугольникам, «предъявляющим» движение плоскости.
|
Рис.42 |
Пусть произвольная точка М1(х1, у1) при
подобном преобразовании отображается в точку М2(х2, у2).
Рассмотрим отображение в два этапа (Рис.42). Гомотетии D : М3(х3,
у3)→ М2(х2, у2) отвечает система |
Cочетая эти две системы, выведем «сквозную» зависимость «новых» координат (х2, у2) от «старых» (х1, у1), то есть получим
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
(треугольник ∆А1В1С1
«растянули» до нужных размеров). Полученный ∆А1В3С3
конгруэнтен ∆А2В2С2 , поэтому (по
теореме из §1.2) найдется некоторое движение D: ∆А1В3С3
→ ∆А2В2С2 , переводящее «промежуточную
фигуру в конечную».
, а движению