Частные виды подобных преобразований плоскости. Центрально-подобное вращение. Центрально-подобная симметрия, страница 3

Замечание. Композиция двух подобий плоскости равносильна некоторому одному подобию.

Доказательство. Если последовательно выполнить два преобразования подобия (с коэффициентами k1 и k2), то в результате сквозь два этапа преобразований все расстояния между точками в их образах сначала изменяется в k1 раз, а затем в k2 раз. Так что композицией двух подобий окажется снова подобное преобразование с коэффициентом k = k1k2 . Ч.т.д.

        Следующая теорема по своей роли аналогична теореме из §1.2 (о том, что для любых двух конгруэнтных треугольников существует и притом единственное преобразование движения, переводящее первый треугольник во второй). Можно заметить и похожий стиль доказательства.

       Теорема. Для любых двух подобных треугольников существует и притом единственное преобразование подобия, при котором второй треугольник станет образом первого.

Доказательство проводим в два этапа: сначала покажем, что нужное преобразование существует, а потом обоснуем его единственность.

1). Существование.  Для заданных подобных треугольников  ∆А1В1С1  и  ∆А2В2С2  

                            

Рис.41

Искомое подобие сконструируем из двух преобразований (Рис.41). Вначале вычислим коэффициент k=А2В2 1В1 и произведем гомотетию(треугольник ∆А1В1С1 «растянули» до нужных размеров). Полученный ∆А1В3С3 конгруэнтен ∆А2В2С2 , поэтому (по теореме из §1.2) найдется некоторое  движение   D: ∆А1В3С3 → ∆А2В2С2 , переводящее «промежуточную фигуру в конечную».

Найденная композиция    послужит искомым преобразованием  подобия  P :  ∆А1В1С1 →  ∆А2В2С2 .

2) Единственность понимаем в том смысле, что если  ∆А1В1С1  отобразится в ∆А2В2С2 , то тем самым однозначно предопределится судьба каждой точки плоскости, единственно возможная. Действительно, произвольную точку М1 можно соотнести с  ∆А1В1С1 (замерив расстояния до вершин А1 и В1). Тогда образ М2 станет вершиной  ∆А2В2М2, построенного на стороне А2В2 «засечками» циркуля из условий  А2М2 = k A1M1 , B2M2 = k B1M1, то есть единственно возможным способом. Ч.т.д.

     Следствие.  Всякое подобие удается представить в виде композиции гомотетии и движения.

Следствие. Подобное преобразование не искажает формы фигур: плоскость как бы «растягивается равномерно во все стороны», а затем «перемещается» без деформаций. Всякая фигура отображается в ей подобную.

Далее выведем формулы пересчета координат точек при подобном преобразовании в общем случае. Из доказанной выше теоремы следует, что задать некоторое конкретное подобие плоскости можно путем предъявления двух подобных треугольников (как образ и прообраз). Пусть это будут те же треугольники  ∆А1В1С1  и  ∆А2В2С2 , что и на рис.41.

Введем декартову систему координат с началом в вершине А1, направляя ось х вдоль стороны А1С1 (Рис.42). При таком расположении координатных осей аналитическое представление окажется наиболее простым, так как для каждого из двух этапов композиции  , отображающей ∆А1В1С1  в  ∆А2В2С2 , уже готовы формулы. Система (8) справедлива для гомотетии с центром в начале координат, а уравнения (6) получены при аналогичном задании системы координат (Рис.12) по отношению к треугольникам, «предъявляющим» движение плоскости.

Рис.42

Пусть произвольная точка М11, у1) при подобном преобразовании отображается в точку М22, у2). Рассмотрим отображение в два этапа (Рис.42).        Гомотетии  : М11, у1)→ М33, у3)  соответствует  , а движению

D : М33, у3)→ М22, у2)  отвечает     система

Cочетая эти две системы, выведем «сквозную» зависимость «новых» координат (х2, у2) от «старых» (х1, у1), то есть получим