Переходные процессы в электрических цепях. Временные диаграммы токов и напряжений. Составление характеристического уравнения по Zвх и расчет его корней

Балтийский Государственный Технический Университет им. Д.Ф.Устинова

 «ВОЕНМЕХ»

.

Курсовая работа по электротехнике.

Тема:

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В

 ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.

Вариант №14-200

Студент: В

Группа:  Н-261             

Преподаватель:             

Санкт-Петербург

2008г.

1. Схема

E = 200 B

L = 0.05 Гн

R₁ = 500 Ом

R₂ = 140 Ом

R₃ = 360 Ом

C = 1 мкФ

Требуется:

1.  Найти законы изменения токов и напряжений на емкости и индуктивности. Задачу решить классическим и операторным методами.

2.  Построить временные диаграммы токов и напряжений.

3.  Составить математическую модель переходного процесса по методу переменных состояния и подготовить систему дифференциальных уравнений. Полученные уравнения решить с помощью прикладных программ на компьютере.

4.  Сравнить результаты расчета, полученные различными методами.

2.Составление характеристического уравнения по Z_вх и расчет его корней

 

Сопротивления      и     соединены параллельно

                                       (1)

Входное сопротивление с учетом (1)

                           (2)

                                   (3)

Приравняем (3) к нулю

                                (4)

 1/c                           (5)

 1/c                                   (6)

Преобразуем уравнение (4)

                                                                                     (7)

Решим уравнение (7)

3. Расчёт принуждённых составляющих.

                                                                (8)

                                                                                                                 (9)

                                                                  (10)

                                                          (11)

                                                                                                               (12)
4. Определение начальных условий.

а) Независимые начальные условия.

Под начальными независимыми условиями понимают значения токов катушек индуктивности и напряжений на конденсаторе до коммутации.

До коммутации ток в катушке равен:

                                               (13)

Напряжение конденсатора до коммутации:

                                        (14)

б) Зависимые начальные условия.

Значения остальных токов и напряжений при t=0 в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, называются зависимыми начальными условиями. Составим систему уравнений для определения зависимых начальных условий:

                                                (15)

        

Подставим в систему независимые начальные условия:

                                             (16)   

Из системы уравнений:

(17)

                        (18)

                (19)

                                                                        (20)
5. Составление ДУ по законам Кирхгоффа.

Вначале выберем условно-положительное направление токов в ветвях и направления обхода контуров. Затем запишем систему уравнений для момента времени после коммутации. Количество уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов. Первое уравнение составим по первому закону Кирхгофа, второе и третье – по второму:

                                                   

Уравнение связи для конденсатора:

                                                                             (24)

Полученная система уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно напряжения

Из уравнения (22): 

                                                                            (25)

Уравнения (24) и (25) подставим в (21):

                                                           (26)

                                                      (27)

Уравнения (26) и (27) подставим в (23) и, преобразовав, получим:

                                     (28)

6. Анализ полученного ДУ.

a) Проверка размерностей коэффициентов А и В.

б) Проверка правой части.

При постоянном воздействии в установившемся режиме:

тогда

7. Решение полученного  ДУ классическим методом.

              (28)

        —  линейное неоднородное дифференциальное  уравнение второго порядка. Известно, что решением таких уравнений является сумма двух составляющих, а именно, общего решения для соответствующего однородного уравнения и частного, полученного в форме правой части для неоднородного уравнения. Физический смысл первой составляющей – описание поведения системы при отсутствии внешнего воздействия. Эту составляющую принято называть свободной. Физический смысл второй составляющей – описание поведения системы при наличии внешнего воздействия, описываемого правой частью неоднородного уравнения. Эту составляющую принято называть принужденной. По существу, это описание нового установившегося процесса, в который должна будет перейти система после коммутации.

Таким образом, решение уравнения (28) запишется как

Принужденная составляющая напряжения  определяется в установившемся режиме после коммутации и  равна

                                                           (29)

(30)

Определение постоянных интегрирования А₁ и А₂

В момент времени t=0:      

Тогда

(31)

Тогда

Подставив значения постоянных интегрирования получаем:

                                   (32)

Подставим в решение численные значения корней и постоянные интегрирования определенные выше:

                                                    (33)

8. Определение остальных токов и напряжений:

Первый ток найдем из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа:

Из уравнения связи найдем ток через конденсатор:

Третий ток найдем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:

Падение напряжения на R₁:

Падение напряжения на R₂:

Напряжение на катушке индуктивности:

10. Решение полученного  ДУ операторным методом:

Операторная схема замещения:

Для получения схемы замещения составляем систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме:

                                             

                                                                      (10.4)   

Решаем систему уравнений относительно изображения по Лапласу искомой переменной . Решение должно быть представлено в виде отношения двух полиномов оператора :

При этом необходимо, добиться того чтобы в состав  множитель при  в наивысшей степени был равен единице.

Из уравнений (10.3) (10.1)  выразим  и :

                                                            (10.5)

                                                          (10.6)

И подставив эти уравнения в (10.2) , получим  :

                                          (10.7)

                                              (10.8)

Подставим (10.8) в (10.4):

                              (10.9)

            (10.10)

                                                                     (10.11)

После подстановки численных значений параметров и начальных условий получим:

По теореме разложения находим оригинал – закон изменения искомой