Переходные процессы в электрических цепях. Расчет принужденных составляющих. Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа

Балтийский государственный технический университет

 им. Д.Ф.Устинова  «ВОЕНМЕХ»

Кафедра электротехники.

Курсовая работа

по электротехнике.

Тема: ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.

Вариант № 5

             Студент:               

   Группа:                    Н 531

Преподаватель:             

Оценка:

Подпись: 

Санкт-Петербург   2005.

Содержание:

стр.

1.  Исходные данные_______________________________________________3

2.  Составление характеристического уравнения по Z_{вх.____________________________}4

3.  Расчет принужденных составляющих______________________________5

4.  Определение начальных условий:

4.1 независимые начальные условия________________________________6

4.2 зависимые начальные условия__________________________________7

5.  Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа______8

6.  Составление дифференциального уравнения методом Д-алгебраизации__9

7.  Анализ полученного дифференциального уравнения_________________10

8.  Решение полученного дифференциального уравнения классическим методом_________________________________________________________11

9.  Определение остальных токов и напряжений_______________________12

10.  Таблица проверок_____________________________________________13

11. Решение полученного дифференциального уравнения  операторным методом_________________________________________________________14

12. Расчет дифференциального уравнения методом переменных состояния_17

13.Расчет переходных процессов, составленных методом переменных состояния с помощью программы MathCad._______________________________________19

14. Графики i_L и u_C, полученные методом переменных состояния_________20

15. Графики остальных токов и напряжений___________________________21

16 Проверка выполнения з.К. при t=2.5*___________________________22

Список используемой литературы________________________________23

1.  Исходная схема задания

E=140 В   R₁=500 Ом         R₂=800 Ом         R₃=700 Ом   C=0,8 мкФ    L=0,03 Гн

2.Cоставление характеристического уравнения по Zвх  

Составляем комплексное входное сопротивление относительно зажимов источника питания

R₂* 1/jωC           

Z(jω)=                          +  jωL  + R₁                                                             (1)     

R₂  + 1/jωC           

Прировняем  jω= a  решим относительно него уравнение при  Zвх = 0           

R₁R₂ C + L                             R₁   + R₂

a² +                              *  a    +                              =0                                   (2)

R₂  L C                                 R₂  L C

Обозначим

R₁R₂ C + L                    

А =                                                                               

R₂  L C        

R₁   + R₂

В=                              

R₂  L C                                           

А  = (500* 800*0.8*     +0.03)/(800*0.8**0.03)=18229               (3)

B = ( 500+800)/(800*0.8**0.03)=6.7708*                                     (4)

а²+А*а+ B=0                                                                                               (5)

получим корни характеристического уравнения а₁= -5194,54                                                                                                 (6)

а₂= -13034,46                                                                                               (7)

3. Определение принужденных составляющих

Можно нарисовать эквивалентную схему при устоявшемся режиме

Рассчитаем токи и напряжения по законам Ома в остальных ветвях

i_2пр=0                                                                                               (8)

i_1пр= = 0.1077 А                                       

i_3пр== 0.1077 А                                                                  (9)

u_R1пр== 53.85 В                                                             (10)

u_R2пр= = 86.16В                         

u_Спр == 86.16В                                                             (11)

4.Определение начальных условий

4.1.Определение  ННУ

по первому закону коммутации

i_L(_0)= = 0,07 А = i_L(0)                                                  (13)  

по второму закону коммутации

u_C(_0)== 105 В =u_C(0)                                                  (14)

i_L(_0)      =         i₁(_0)      =            i₃(_0)

i₂(_0)=0    т к конденсатор не пропускает постоянный ток

u_R1(_0)= = 35 В

u_R2(_0)== 56 В

u_L(_0)=0       катушка при постоянном токе является закороченным проводником

4.2. Определение ЗНУ

Стрелки указывают направление обхода контуров

Система уравнений по законам Кирхгофа

i₁(0)= i₂(0)+ i₃(0)                                                                                                   (15)

L*+ i₁(0)*R₁+ i₃(0)*R₂=E                                                                            (16)

i₃(0)*R₂-(U_c(0)-)=0                                                                             (17)

При t=0

=0                                                                                                         (18)

i₃(0)*R₂-U_c(0)=0 à  i₃(0)= =0,1312 A                                                         (19)

i₁(0)= i₂(0)+  à

i₂(0)=i₁(0)-=i_L(0)-= -    = -= -0,0612 А                                                                                   (20)

L*+ i₁(0)*R₁+=E  à

=* ( E - i_L(0)*R₁-) =

Рассмотрим токи и напряжения При t=0

=*(E - -)=0                                       (21)

35=u_R1(_0) = u_R1(0)=i₁(0)*R₁=35  нет скачка т к i₁(0) =i_L(0)  не изменяется по первому закону Коммутации  56=u_R2(_0) ≠ u_R2(0)=i₃(0)*R₂=105  скачок

0,07=i₃(_0) ≠ i₃(0)=0,1312   скачок

0=i₂(_0) ≠ i₂(0)=-0,0612  скачок

0= u_L(_0) = L*= 0 à нет скачка

5.Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа

Стрелки указывают направление обхода контуров по законам Кирхгофа

i₁= i₂+ i₃                                                                                                                                                             (22)

L*+ i₁*R₁+ i₃*R₂=E                                                                             (23)

i₃*R₂-(U_c(0)- )=0                                                                        (24)

*R₂=*i₂ продифференцируем уравнение (24)        

i₂= C*R₂*            по (23) выразим  i₃                                                (25)          

i₃= - -       по уравнению  (25) выразим  i₂ через i₁   (26)                                           

i₂= - - R₁*C*                                                                         (27)     

i₁= i₂+ i₃=- - (R₁*C+)*-+  (28)     по уравнению   (22) выражаем i₁  получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка 

 + (R₁*C+)*+=  (29)

 + *+=   (30)

6.Составление дифференциального уравнения по методу

D-алгебризации

Обозначим операцию дифференцирования буквой D

Тогда операция интеграла будет 1/D

Из системы уравнений (22-24)

i₁= i₂+ i₃                                                                                                                                                                              (31)

L*+ i₁*R₁+ i₃*R₂=E                                                                                    (32)

i₃*R₂-(U_c(0)+)=0                                                                                      (33)

i₂= i₁-i₃    (34)                                                                 

L*+ i₁*R₁+ i₃*R₂=E  (35)                      (L*+ R₁)*i₁+ i₃*R₂=E  (37)

i₃*R₂-U_c(0)-*( i₁-i₃)=0  (36)                 -*i₁+(R₂₊)*i₃= U_c(0)   (38)

с помощью знаний векторной алгебры решаем систему  уравнений

()*()=()                                                                 (39)

найдем  определитель первой матрицы

Δ=()()+=R₂*L*D++R₁*R₂+                     (40)

Δ_i1=E*R₂+-R₂*U_c(0)                                                                                 (41)

i₁==                                                          (42)

i₁*( )=  (43)

i₁*)=                                   (44)

i₁*)=                                      (45)

выражаем i₁  получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка 

 + *+=                                       (46)

7.Анализ полученного уравнения

1)    т к приложенная составляющая постоянна

то производная ее равна 0 получаем               (47)

2)   (48)

                                  (49)

8.Решение дифференциального уравнения классическим методом

Записываем наше дифференциальное уравнение

 + *+=  (50)

будем искать свободную составляющую в виде

i_1св=A₁*+ A₂*  (51)

i_1пр=  (52)

ищем полный ток в первой ветви в виде

i₁=i_1св+i_1пр= A₁*+ A₂*+  (53)

i₁(0)=   (54)

при t=0            

= A₁+ A₂+à A₁=-- A₂  (55)

i₁= -(+ A₂)*+ A₂*+  (56)

при t=0

= -*(+ A₂)+*A₂=0 A₂=*

(57)

A₁= -*

(58)

i₁=-**+**                                              

(59)

После вычислений получим

A₁=-0.0 627  

A₂=0.0250

i₁=0.1077 -0.0627*+0.0250*  

(60)

9.Определение остальных токов и напряжений

i₃= - -   по уравнению (26) 

i₃=+**()*-* **()*              (61)

по уравнению (22)

i₁= i₂+ i₃  à  i₂ =i₁- i₃

i₂= -**(+1)*+* **(+1)*          (62)

u_R1=i₁*R₁= R₁[-**+* **]                                      (63)

u_C=u_R2=i₃*R₂=R₂[+**()*-**()*]  (64)

u_L=L=L*[-**+* **]                                        (65)

10.Таблица токов и напряжений

	Уравнение	t<0	t=0		t
			По з.К.	По уравн.	Прин. Режим	По уравн.
i1	0.1077-0.0627*+0.0250*	= 0,07	0.07	0.07	= =0.1077	0.1077
i2	-0.0898* *+0.0284*	0	-0,0612	-0.0612	0	0
i3	0.1077+0.027*+0.0034*	= 0,07	0,1312	0.1312	= =0.1077	0.1077
uR1	53.85-31.35*+12.5*	=35	35	35	= = 53.85	53.85
uC	86.16+21.6*+2.72*	= 105	105	105	= =86.16	86.16
uR2		= 56
uL	9.586*-9.586*	0	0	0	0	0

11. Решение полученного ДУ операторным методом:

представим исходную схему по операторному методу

	Li1(0)

                E/p                          pL                                     R₁

		I1(p)
	I3(p)

 

По законам коммутации

I₁(0_)=0.095 A=I₁(0)

U_C(0_)=142.5 B =U_C(0)

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа по Операторному методу

                                       (66)

из Первого уравнения системы

                                                                          (67)

(68)

Получим определитель и решим систему с помощью определительного метода относительно  тока в первой ветви

запишем с помощью коэффициентов

                                                           (69)

                                                                (70)

                                                                          (71)

                                                                    (72)

                                                                (73)

                                                     (74)

знаменатель будет равен 0 при

p₁=0   p₂= -5194   p₃= -13040

производная Функции знаменателя

                                          (75)

Получим конечное выражение для тока

                                       (76)

12. Расчёт п.п. методом ПС:

i1

i3

                   E                          L                                     R₁

Стрелка указывает направление обхода контура

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа и Ома

                                                                         (77)

Выразим из него производную тока в ветви 1 по времени

                                      (78)

получим для тока выражение

производная напряжения на конденсаторе

                                                                      (79)

Квадратнаяматрица собственных коэффициентов системы, которые определяются структурой цепи и параметрами элементов.

 =()

Вектор независимых переменных, элементы которого определяются входными воздействиями.

     =()    

Вектор начальных условий.

=()

dX - описывает правую часть уравнений, разрешенных относительно первых производных

dX*=A *  X* + B  *   F                                                                            (80)

постоянные времени  переходного процесса                                                      

Время переходного процесса

13.Расчет переходных процессов, составленных методом переменных состояния с помощью программы MathCad.

Вектор независимых переменных, элементы которого определяются входными воздействиями.

     =()    

Вектор начальных условий.

=()

D - описывает правую часть уравнений, разрешенных относительно первых производных

Начальный момент переходного процесса

Конечный момент переходного процесса

Число шагов для численных расчетов.

Применение метода Рунге-Кутта. Решение Z представляет собой матрицу размера

Nx3.

Первый столбец этой матрицы Z<0> содержит моменты времени, столбец Z<1> содержит значения тока, а столбец Z<2> содержит значения функции