Нахождение законов изменения токов и напряжений. Составление системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгоффа

Курсовая работа

Расчет переходных процессов

Студент: Ставинов П.А.

Группа: Н-132

Преподаватель: Тораманян О.С.

Санкт-Петербург 2005г

Содержание

1 Исходные данные                                                                                    

2 Решение задачи классическим методом                                                

3 Решение задачи операторным методом                                            

4 Составление систем уравнений методом переменных состояния

5 Построение графиков и проверка результатов                                
1 Исходные данные

В схеме, изображенной на рис.1, рубильник Р в момент времени t=0 замыкается (происходит коммутация). Задана ЭДС постоянного источника Е=80 В, а также сопротивления R1=200 Ом и   R2=30 Ом, индуктивность L=0.09 Гн и емкость С=4 мкФ.

Требуется найти:

×  Законы изменения токов i₁(t), i₂(t), i₃(t)  и напряжений u_r1(t), u_r2(t), u_c(t), u_l(t). Решить задачу классическим и операторным методами.

×  Составить математическую модель переходного процесса по методу переменных состояния и подготовить полученную систему дифференциальных уравнений для расчета на ЭВМ.

×  Построить временные диаграммы токов i₁(t), i₂(t), i₃(t)  и напряжений u_l(t), u_c(t), u_r1(t), u_r2(t).

×  Проверить результат.      

        2    Решение задачи классическим методом

Для нахождения законов изменения токов и напряжений необходимо знать полное напряжение, которое имеет вид:

                                   

Т.к. Е=const, принужденная составляющая напряжения  также не зависит от времени.

2.1 Составление системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгоффа

 

Запишем систему уравнений (1.1) для момента времени после коммутации. Количество уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов. Уравнение (2) составим по первому закону Кирхгоффа, (3) и (4) – по второму закону Кирхгоффа.

 

Уравнение связи для конденсатора:

    

2.2 Нахождение дифференциального уравнения относительно величины  u_c(t)

Степень дифференциального и характеристических уравнений относительно u_c(t)  равна числу независимых начальных условий (ННУ) в схеме, т.е. порядок равен 2.

Из уравнения (4)

          

Из уравнения (2)

Подставляем в (3)

Преобразуем

2.2.1  Составление характеристического уравнения по

дифференциальному уравнению.

Для получения однородного дифференциального уравнения нужно в (8) правую часть тождественно приравнять 0.

Заменяем d²u_c/dt², du_c/dt, u_c на a², a, 1  соответственно.

2.3 Нахождение дифференциального уравнения

относительно величины i_l(t)

Выразим из системы 1.1 i₁(t)

Для этого из (4) выразим u_c(t), а потом из u_c(t) выразим i₃(t).

Выразим из (3) ток i₂(t)

Подставляем полученные величины в (2)

 

Преобразовав, получаем

 

Заметим, что полученное линейное неоднородное дифференциальное уравнение для тока на катушке имеет идентичное характеристическое уравнение с уравнением (8)

2.4 Определение характеристического

уравнения по входному сопротивлению цепи.

При реализации данного метода необходимо найти входное сопротивление цепи.

Для начала найдем сопротивление параллельного участка цепи:

 

Теперь находим полное сопротивление цепи

Заменяем jw на

Полученное выражение приравниваем к нулю и преобразовываем

 

2.5 Нахождение характеристического уравнения методом

D-алгебраизации.

Перепишем (1.1) с учетом

Сделаем замену   

i₁(t) можно найти по формуле Крамера:

       где

Подставим определители в формулу Крамера

Приравняв правую часть к нулю, получим характеристическое уравнение

Сделаем обратную замену и приравняв правую часть к нулю, получим линейное однородное дифференциальное уравнение.

Заметим, что данное уравнение имеет характеристическое уравнение, идентичное (9).

2.6 Определение корней характеристического уравнения.

                                                        

Произведем замену

Проверим размерность полученных корней

Уравнение (16) с учетом замены приобретает вид