Нахождение законов изменения токов и напряжений. Составление системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгоффа, страница 3

3.7 Нахождение оригинала функции iL(t)

Знаменатель уравнения (42) полностью совпадает со знаменателем уравнения (37). Следовательно, и корни будут одинаковыми.

 

Дальше действуем по теореме разложения (40)

  

      

Учитывая, что  и      

Данное уравнение полностью совпадает с величиной, найденной в пункте 2.11 классическим методом.


4 Составление систем уравнений по методу

переменных состояния.

Переменные состояния – величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т.е. iL(t) и uC(t).

4.1 Составление системы по законам Кирхгоффа.

Записываем систему 1.1

                  

                                           

4.2 Преобразование полученной системы в систему уравнений в форме

Коши относительно производных переменных состояния.

Подставляем (45) и (43) в (44)

Подставляем (43) в (45) с учетом (46)

Уравнения (47) и (48) запишем в форме Коши:

Принимаем

Получаем систему уравнений в форме Коши

                         

Из системы 3.0 запишем матрицу коэффициентов, стоящих перед x1(t), x2(t), порядка , где n – количество переменных состояния.

 

Матрица  содержит в себе все пассивные элементы цепи.

Из системы 3.0 запишем матрицу коэффициентов, стоящих перед Е порядка , m - количество источников.

                                               

ННУ (23) и (24) объединим в систему

                                                                    

По 3.1 запишем матрицу-столбец начальных условий порядка n.

                                                                           (51)

Из 3.0 получим матрицу-столбец входных воздействий порядка m.

                                                                    (52)

С учетом (49), (50), (52) приведем систему 3.0 к виду:

,                                                    

где  - дифференциал матрицы искомых величин.

Объединим (53) и (51) в матричную систему

                                                          3.2

4.3 Нахождение переменных состояния.

Решение системы 3.2 имеет вид

                                      (54)

Первое слагаемое описывает свободные процессы в системе, второе – принужденные при нулевом исходном состоянии.

, где  - собственные числа матрицы , которые находятся как корни уравнения

Получили характеристическое уравнение, идентичное (9).


5 Построение графиков и проверка результатов

5.1 Построение графиков

На практике переходный процесс заканчивается спустя  

где Т – период колебаний переходного процесса, равный

Поэтому время переходного процесса

На графике 1 можно в любой момент времени проверить соблюдение первого закона Кирхгоффа – первый ток равен сумме второго и третьего.

5.2 Проверка токов и напряжений в заданные моменты времени

t=0

t=0.001

t=0.003

t=0.004

t=0.005

t=0.0065

i1(t)

0.00029

0.3076

0.4383

0.3855

0.3878

0.4038

i2(t)

0.3479

0.2539

0.4346

0.4094

0.3929

0.3994

i3(t)

-0.3474

0.0545

0.0035

-0.0239

-0.0051

0.0044

                                                                                                             

t=0

t=0.001

t=0.003

t=0.004

t=0.005

t=0.0065

uL(t)

10.1917

25.7655

-6.1489

-1.5940

1.2693

0.0976

uR1(t)

69.5841

50.7717

86.9240

81.8722

78.5844

79.8763

uR2(t)

-10.4206

1.6343

0.1052

-0.7182

-0.1539

0.1320

uC(t)

80

49.1435

86.8177

82.5896

78.7385

79.7444

E

80

80

80

80

80

80

Все графики построены и расчеты произведены в системе MatLab 6.5.