Электротехника \ Электротехника

Нахождение законов изменения токов и напряжений. Составление системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгоффа, страница 2

Решение уравнения (17) будет иметь комплексно-сопряженные корни, т.к.

2.7 Запись свободной составляющей u_c

Выражение свободной составляющей напряжения определяется видом корней характеристического уравнения (17). Т.к. корни комплексно-сопряженные, выражение свободного напряжения имеет вид:

2.8 Расчет принужденной составляющей u_c

В схеме, изображенной на рисунке 2, закоротим индуктивность и разорвем ветвь с емкостью. Теперь все токи не зависят от времени.

По второму закону Кирхгоффа напряжение на конденсаторе равно:

Такой же результат мы получим, если в уравнении (8) учтем, что производная от константы равна нулю (принужденная составляющая u_c не является функцией времени).

2.9 Расчет начальных независимых и зависимых условий при t=0₊

Независимые начальные условия – ток на индуктивности i_l(0_-) и напряжение на конденсаторе u_c(0_-) до коммутации.

До коммутации ток в цепи не шел => i_l(0_-)=0

Используя первый закон коммутации, получаем:

По второму закону Кирхгоффа в момент времени до коммутации u_c(o_-)=E

Используя второй закон коммутации, получаем:

Для определения постоянных интегрирования А₁ и Q необходимо знать зависимые начальные условия, т.е.

Выразим из уравнения (7).

Подставим момент времени t=0 и независимые начальные условия:

2.10 Запись полного решения u_c(t) и определение постоянных

интегрирования.

Из выражения () при t=0

2.11 Определение токов и напряжений в схеме

Подставим в выражение () численные значения ЭДС, корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования.

Третий ток мы найдем из уравнения (5), учитывая

Второй ток находим из (6)

Первый ток найдем по первому закону Кирхгоффа

Далее находим напряжение на индуктивности

По закону Ома находим напряжения на сопротивлениях

3 Решение задачи операторным методом

Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений часто применяется при расчете электрических цепей. В основу этого метода положены преобразования Лапласа, суть которых состоит в замене функции вещественного переменного f(t), называемой оригиналом, соответствующей ей функцией F(p) комплексного переменного p, называемой изображением.

Оригинал и изображение связаны соотношением, называемым прямым преобразованием Лапласа.

3.1 Определение начальных условий схемы при t=0₊

Выпишем найденные в пункте 2.9 независимые начальные условия

3.2 Составление операторной схемы замещения

В схему изображений при ненулевых начальных условиях последовательно с индуктивностью включается источник ЭДС, сонаправленный с током на катушке, а последовательно с емкостью – дополнительный источник ЭДС, направленный противоположно положительному направлению тока в ветви.