Колебания в кулачковых механизмах с упругим толкателем. Многомассовые колебательные системы при одномерном возбуждении, страница 5

В п. 8.12.1. мы рассмотрели вопросы приведения жесткостей применительно к линейным системам т.к. коэффициенты жесткости стальных валов на кручение постоянны и системы в этом случае являются линейными. Но, как мы уже отмечали, колебательные процессы в зубчатых механизмах обусловлены не только упругостью валов, но и зазорами в зубчатых зацеплениях и муфтах, упругостью элементов муфт, упругостью зубьев на изгиб и контакт и т.п. Эти жесткостные характеристики в большинстве своем являются нелинейными, а наличие зазоров вызывает возникновение ударов. Однако дискретные модели позволяют сравнительно просто учитывать любые нелинейности. При этом вид самих уравнений (8.45) не меняется т.к. все нелинейные свойства будут содержаться внутри коэффициентов С_i^ПР , h_i^ПР, которые в нелинейных случаях станут функциями, определение которых представляет собой уже отдельную задачу. Таким образом, система ( 8.45 ) фактически пригодна для описания колебательных процессов, обусловленных всеми видами упругости звеньев.

8.12.3. Собственные  частоты

Задача определения собственных частот колебательных систем является одной из самых распространенных т.к. во избежание резонансных явлений необходимо сравнивать спектр собственных частот со спектральным составом внешнего воздействия.

Задача о собственных частотах естественно решается на основе уравнений собственных колебаний. В данном случае это система ( 8.45 ) с нулевой правой частью, которую здесь запишем  без  учета  демпфирования.

J₁^ПР ₁  + С₂^ПР(y₁ – y₂ )  + С₁^ПР y₁   = 0,

   J₂^ПР ₂  + С₃^ПР(y₂ – y₃ )  + С₂^ПР (y₂ – y₁ ) = 0,                                      ( 8.46 )

J₃^ПР ₃  + С₃^ПР(y₃ – y₂ )  = 0

Сгруппируем  слагаемые  при  одноименных  y_i :

J₁^ПР ₁  + (С₁^ПР + С₂^ПР)y₁   + (– С₂^ПР) y₂        +        0           = 0,

   J₂^ПР ₂  +      (– С₂^ПР) y₁  +  (С₂^ПР + С₃^ПР) y₂   + (– С₃^ПР) y₃  = 0,                        

J₃^ПР ₃  +           0           +      (–С₃^ПР) y₂          +   С₃^ПРy₃      = 0

Или  вводя  обозначения  коэффициентов  при  y_i  :

J₁^ПР ₁  + С₁₁y₁   + С₁₂ y₂    +  С₁₃ y₃   =  0,

   J₂^ПР ₂  + С₂₁y₁   + С₂₂ y₂    +  С₂₃ y₃   =  0,                                          ( 8.47 )

J₃^ПР ₃  + С₃₁y₁   + С₃₂ y₂    +  С₃₃ y₃   =  0.

Определитель системы ( 8.47 ):

Раскрывая определитель ( 8.48 ) получим уравнение для нахождения собственных частот. В данном случае это будет уравнение шестой степени относительно w или кубическое уравнение относительно w². Вообще говоря, при большом количестве масс решение таких уравнений представляет собой отдельную и часто непростую задачу.

Положительные вещественные корни этого уравнения и являются собственными частотами.

Для систем ( 8.45 ) описывающих нелинейные модели, в которых коэффициенты С_i^ПР, h_i^ПР являются функциями само понятие собственной частоты является некорректным. В этих случаях следует определять диапазоны частот, в которых могут наблюдаться резонансные явления. Для этого уравнения ( 8.48 ) следует сформировать и решить для минимальных и максимальных значений коэффициентов жесткости. Тогда полученные два решения и определят эти диапазоны частот.