Исследование марковских сетей массового обслуживания (СеМО)

Петербургский Государственный университет путей сообщения

Кафедра «Прикладная математика»

Лабораторная работа №4

«Исследование марковских сетей массового обслуживания (СеМО)»

Выполнил ст. гр. ПВТ-111 Гончаров А. В.

Проверил: Боровских Юрий Васильевич

Санкт-Петербург 2003

Задание

1.  Открытые СеМО.

Сеть грузовых перевозок состоит из 3-х узлов: морской порт – M|M|3 железнодорожный вокзал – M|M\1, аэропорт – M|M\1. В сеть поступают извне требования с интенсивностями g = (g₁, g₂, g₃). Интенсивность обслуживания в узлах СеМО m = (m₁, m₂, m₃). Матрица маршрутизации имеет вид:

Для стационарного режима работы СеМО определить:

1)  Вероятность того, что во всех трех узлах имеется очередь;

2)  Вероятность того, что все три узла свободны от грузов;

3)  Среднюю длину очереди в морском порту;

4)  Распределение времени ожидания в аэропорту;

5)  Среднее время ожидания на железнодорожном вокзале;

6)  Среднее время пребывания в морском порту;

7)  Среднее число грузов в СеМО.

№	g1	g2	g3	m1	m2	m3	m1	m2	m3
+7	4	1	2	5	20	15	3	1	1

1.  Расчет открытой СеМО.

1.1)  Вероятность того, что вокзал свободен от грузов:

l=(11; 7; 2)

r_i=l_i/m_i

r₁=11/5=2.2;      r₁/m₁=0.733;

r₂=7/20=0.35;    r₂/m₂=0.35;

r₃=2/15=0.133;  r₃/m₃=0.133;

Стационарный режим для данной СеМО существует.

Вероятность того, что во всех трех узлах есть очередь вычисляется, как произведение вероятностей наличия очередей в каждом узле.

А) Р{В морском порту есть очередь} = 1-p_1,0-p_1,1-p_1,2 .

1-p_1,0-p_1,1-p_1,2-p_1,3= 0.398.

Б) P{На Ж/Д вокзале есть очередь}=1-p_2,0-p_2,1.

1-p_2,0-p_2,1

 = 0.123

В) P{В аэропорту есть очередь}=1-_3,0-p_3,1.

1-_3,0-p_3,1

 = 0.018

Вероятность того, что во всех трех узлах есть очередь: 8.812*10^-4.

1.2) Вероятность того, что все узлы свободны от грузов –  произведение вероятностей того, что в каждом узле нет клиентов:

P=p_1,0*p_2,0*p_3,0=0.046.

1.3) Средняя длина очереди в морском порту:

q_ср=p_1,3*r₁/m₁/(1-r₁/m₁)²=0.497

1.4) Распределение времени ожидания в аэропорту:

1.5) Среднее время ожидания на Ж/Д вокзале:

1.6) Среднее время пребывания в морском порту:

W = 1/m₁=1/5=0.2

1.7) Среднее число грузов в СеМО: вычисляется к среднее арифметическое среднего числа клиентов в каждом узле.

Q₁=0.9/(1-0.9)=9

Q₂=0.35/(1-0.35)=0.538

Q₃=0.133/(1-0.133)=0.153

Q=3.23.

2. Рассчет замкнутой СеМО.

2.1)  Все возможные состояния системы: число размещений из 5 элементов по 3: число состояний 10.

Перечисление состояний:

(1,1,0,0)

(1,0,0,1)

(0,1,0,1)

(0,0,2,0)

(2,0,0,0)

(1,0,1,0)

(0,1,1,0)

(0,0,1,1)

(0,2,0,0)

(0,0,0,2)

2.2)  Уравнение баланса:

В данной системе положено, что x1=1. Тогда и все остальные неизвестные равны 1. При этом все уравнения сходятся с достаточно больной точностью.

Система имеет решение только (1,1,1,1).

2.3)  Так как система имеет нулевое решение G(2,4)=10.

В этой формуле каждое произведение равно единице, а их сумма дает 10.

2.4)  Вероятности состояний каждого узла:

p_i(0)=3/5, т. к. например, число состояний системы, при котором в первом узле 0 клиентов, равно 6, а все состояний 10.

p_i(1)=3/10; p_i(2)=1/10.

2.5)  Для всех узлов находим:

P(Q_i>=1)=2/5, т.к., например, число состояний системы, при которых в первом приборе находятся клиенты, равно 4, а всего состояний 10.

P(Q_i>=2)=1/10.

2.6)  Среднее число требований  в узле.

Для 1-ого узла имеем:

Для остальных узлов вычисления дают те же результаты.