Няхай на прамавугольніку вызначана функцыя
. Калі
функцыя
ёсць інтэгравальная па
на
, то інтэграл
ёсць функцыя ад параметра
, вызначаная на
. Пры гэтым
(1)
называюць інтэгралам, залежным ад параметраy (ІЗАП).
Калі функцыя вызначана на
мностве больш агульнага выгляду
і на існуе інтэграл
,
(2)
то гэты інтэграл называюць ІЗАП са зменнымі межамі.
Нагадаем, што функцыя зменных
называецца раўнамерна непарыўнаю
на
, калі
.
□ Паколькі функцыя ёсць непарыўная на замкнёным абмежаваным
мностве
, то паводле тэарэмы Кантара яна
раўнамерна непарыўная на
, г. зн.
.
Калі ўзяць , то маем
. (3)
Тады
Гэта азначае, што функцыя –
непарыўная ў кожным пункце
.■
Заўвага. Можна паказаць, што калі ёсць непарыўная на
і
– непарыўныя на
, то
ёсць непарыўная функцыя на
.
. (4)
□ Паколькі як непарыўная
функцыя (Тэарэма 1) ёсць інтэгравальная. то
. Апошні інтэграл і інтэграл з правай часткі
роўнасці (4) можна разглядаць як паўторныя для падвойнага інтэграла
, які існуе для непарыўнай на
функцыі. Таму інтэгралы з (4)
супадаюць. ■
г. зн. (ІЗАП можна дыферэнцаваць пад знакам інтэграла).
□ Увядзем дапаможную функцыю
. (6)
Паколькі ёсць непарыўная на
,
то згодна з тэарэмаю 1 функцыя
ёсць
непарыўная на
і інтэграл ад яе можна
вылічыць паводле формулы (4) інтэгравання ІЗАП пад знакам інтэграла:
, г. зн.
, адкуль на падставе тэарэмы Барроў
. Замяняючы ў (6)
на
,
атрымаем (5). ■
Формулу (5) называюць правілам Ляйбніца дыферэнцавання ІЗАП.
Заўвага. Калі функцыі і
ёсць непарыўныя на
і
–
непарыўна дыферэнцавальныя на
, то
ёсць непарыўна
дыферэнцавальная функцыя на
, прычым
(7)
– правіла Ляйбніца дыферэнцавання ІЗАП са зменнымі межамі.
Сапраўды, няхай . Тады
.
(8)
Функцыя мае непарыўныя частковыя
вытворныя па ўсім зменным:
–
згодна з тэарэмаю Барроў;
– згодна з
тэарэмаю 3. Тады з (8) на падставе тэарэмы пра вытворную складанай функцыі
што і азначае праўдзівасць формулы (7).
► Будзем разглядаць гэты
інтэграл як ІЗАП з параметрам і абазначым
яго праз
=.
. Тады
Такім чынам, з роўнасці маем
Паколькі з умовы вынікае, што
,
то
.◄
Няхай на паласе вызначана функцыя
. Калі
неўласцівы інтэграл
ёсць збежны, то кажуць, што
ён збежны на адрэзку
. Пры
гэтым на адрэзку
вызначана функцыя
,
(1)
якую называюць неўласцівым
інтэгралам, залежным ад параметра (НІЗАП).
Збежнасць НІЗАП да
функцыі
азначае існаванне ліміту
, г. зн.
.
Такім чынам, НІЗАП (1) ёсць
збежны на адрэзку , калі і толькі калі
.
def. Кажуць, што НІЗАП (1)
збягаецца раўнамерна па параметру у на адрэзку , калі
.
Калі НІЗАП (1) збягаецца на
адрэзку , але не ёсць раўнамерна
збежны па параметру
на
, то кажуць,
што НІЗАП (1) збягаецца нераўнамерна па параметру
на адрэзку
г. зн.
.
► 1)
–інтэграл збягаецца раўнамерна.
2) Паколькі , калі
. Такім чынам,
,
г. зн. інтэграл збягаецца нераўнамерна на
.◄
Заўвага. НІЗАП – непарыўная на абодвух адрэзках
функцыя , але на першым з іх ён збягаецца раўнамерна, а на другім нераўнамерна,
г. зн. няма аналогіі з тэарэмай Кантара пра раўнамерную непарыўнасць
функцыі .
□ З (2) і з прыкметы параўнання для НІ-1 вынікае, што
НІЗАП (1) ёсць абсалютна збежны на . Збежнасць інтэграла (3)
азначае:
.
На падставе няроўнасці (2) маем .
Такім чынам, атрымалі, што
.
Гэта і азначае, што НІЗАП (1) ёсць раўнамерна
збежны на .■
□ Возьмем адвольнае значэнне . Тады
=
Такім чынам,
(4)
Паколькі НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны, то
. (5)
Зафіксуем пэўнае значэнне і
разгледзім прамавугольнік
. Паколькі
ёсць раўнамерна непарыўная на
(на падставе тэарэмы Кантара),
то для выбранага раней
.
(6)
З няроўнасцяў (4), (5) і (6) вынікае:
, калі
, г. зн. функцыя
ёсць
непарыўная ў пункце
, а тым самым на
. ■
Заўвага. Раўнамерная збежнасць не
з’яўляецца неабходнаю ўмоваю для непарыўнасці НІЗАП. У прыкладзе 1 функцыя – непарыўная на
, хаця НІЗАП
не з’яўляецца раўнамерна збежным
на гэтым адрэзку.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.