, або . (7)
□ Возьмем адвольнае значэнне і разгледзім прамавугольнік . Згодна з тэарэмаю 2 §10.1 пра інтэгравальнасць ІЗАП маем
(8)
Калі мы пакажам, што апошні інтэграл у (8) імкнецца да нуля пры , то тым самым дакажам праўдзівасць роўнасці (7). Паколькі НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны, то
.
Тады г. зн.
. (9)
Калі ў (8) перайсці да ліміту пры , то на падставе (9) атрымаем
, што і азначае праўдзівасць (7). ■
Тэарэма 4 (пра дыферэнцавальнасць НІЗАП). Калі функцыя і яе частковая вытворная ёсць непарыўныя на , інтэграл (1) ёсць збежны, а інтэграл ёсць раўнамерна збежны па на адрэзку , то НІЗАП ёсць непарыўна дыферэнцавальная на функцыя, прычым
□ Увядзем дапаможную функцыю . Калі , то функцыя інтэгравальная на (тэарэма 3)
Такім чынам, Паводлез тэарэмы Барроў
, прычым, згодна з тэарэмаю 2, функцыя ёсць непарыўная на . ■
Будзем разглядаць інтэграл , які ёсць збежны на падставе прыкметы Дырыхле: першаісная ад ёсць абмежаваная, а функцыя манатонна імкнецца да нуля пры . У пункце ён існуе як звычайны вызначаны інтэграл.
Для вылічэння значэння інтэграла Дырыхле разгледзім функцыю
(1)
Пакажам, што функцыя непарыўная пры . Дзеля гэтага спачатку пакажам, што НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны пры . Вылічым першаісную
адкуль (2)
Паколькі , а
, то
. (3)
Карыстаючыся метадам інтэгравання часткамі і няроўнасцю (3), атрымаем
пры і , што азначае раўнамерную збежнасць НІЗАП (1) пры .
На падставе тэарэмы 2 §10.3 функцыя непарыўная на .
Дзеля вылічэння вытворнай разгледзім інтэграл, які атрымліваецца з інтэграла (1) пасля дыферэнцавання яго падынтэгральнай функцыі па параметру
(4)
Гэты інтэграл ёсць раўнамерна збежны на кожным адрэзку , паколькі і – збежны (прыкмета Ваерштраса). Тады згодна з тэарэмаю 4 §10.2 пры маем
==. (5)
Паколькі і можна выбіраць адвольна, то роўнасць (5) мае месца пры .
Інтэгруючы (5) па , атрымаем
. (6)
Паколькі (мы даказвалі, што ), то . Таму . З роўнасці (6) знойдзем канстанту С: .
Такім чынам, з (6) маем . (7)
На падставе непарыўнасці функцыі атрымліваем
.
Такім чынам, – інтэграл Дырыхле.
З гэтай формулы вынікае
(Дастаткова ў інтэграле зрабіць замену , або .)
Будзем разглядаць так званыя інтэгралы Эйлера, якія па прапанове Ляжандра называюцца таксама Гама – і Бэта – функцыямі.
1º. Гама – функцыя Ойлера. Гэта функцыя уводзіцца як НІЗАП
(1)
з двума асаблівымі пунктамі і . Пакажам, што функцыя непарыўная пры . Дзеля гэтага пададзім (1) у выглядзе сумы двух інтэгралаў:
.
Дакажам, што абодва гэтыя інтэгралы ёсць раўнамерна збежныя па параметру на кожным адрэзку .
1) Калі і , то ( спадальныя, таму найбольшае значэнне на левым канцы). Паколькі інтэграл ёсць збежны (ён роўны , або пры ), то інтэграл – раўнамерна збежны на .
2) Калі ж і , то ( нарастальная). Паколькі
(скарысталіся тым, што ), а інтэграл – збежны, то інтэграл ёсць раўнамерна збежны на . Такім чынам, НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны на , а таму функцыя – непарыўная на (тэарэма 2 §10.3), а тым самым – непарыўная пры .
Аналагічным чынам можна паказаць, што ёсць непарыўна дыферэнцавальная пры , прычым
г. зн. ёсць выпуклая ўніз.
Атрымаем асноўную тоеснасць для .
.
Такім чынам,
– (3)
формула прывядзення для Гама–функцыі. Для вылічэння значэнняў функцыі дастаткова ведаць яе значэнні на прамежку .
Паколькі , то, беручы ў (3) , атрымаем
.
Вылічым
Формула (3) дае магчымасць даследаваць паводзіны функцыі пры :
.
Улічваючы непарыўнасць , яе выпукласць уніз, яе паводзіны пры і некаторыя прыватныя значэнні, схематычна нарысуем яе графік |
2º. Бэта – функцыя Ойлера. Гэта функцыя уводзіцца як НІЗАП
(4)
і мае два асаблівыя пункты і . Запішам (1) у выглядзе
.
Даследуем спачатку інтэграл на збежнасць у пункце . Паколькі функцыя ёсць непарыўная пры , то яна абмежаваная, г. зн.
. Тады маем і паколькі
ёсць збежны пры г. зн. пры , то інтэграл ёсць збежны (прыкмета параўнання) пры ўсіх і пры .
Аналагічна паказваецца, што інтэграл ёсць збежны пры ўсіх і пры . Такім чынам, функцыя вызначана пры ўсіх , .
Разгледзім асноўныя ўласцівасці Бэта–функцыі.
1º. Выконваючы ў (1) замену , маем
.
2º. Беручы ў (1) , маем
– (5)
другое аналітычнае выяўленне Бэта-функцыі.
Можна паказаць:
3º. 4º.
Прыклад 1. Выразім інтэграл праз Бэта–функцыю.
Зробім замену :
.
Прыклад 2. У інтэграле зробім замену
.
Відавочна, што інтэграл ёсць збежны пры
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.