Уводзіны. Элементы тэорыі мностваў і матэматычнай логікі. Рэчаісныя лікі, страница 3

Часта сустракаюцца задачы наступнага тыпу: даказаць праўдзівасць сцверджання . Пры гэтым карыстаюцца метадам матэматычнай індукцыі – сцверджанне  лічаць праўдзівым для ўсіх , калі выконваюцца наступныя дзве ўмовы: 1) выказванне  праўдзівае пры ; 2) з праўдзівасці выказвання  вынікае праўдзівасць выказвання  для ўсіх натуральных k. Умова праўдзівасці выказвання  называецца базай індукцыі (часцей за ўсё ), а меркаванне праўдзівасці выказвання  – індуктыўным пагадненнем.

Прыклад. Дакажам, што . Пры  маем . Калі ж гэта вам не зусім падабаецца, то пры  маем . Няхай пры  выраз  і дакажам, што . Сапраўды,

. Сцверджанне даказана. Зразумела, што тое самае можна атрымаць, калі запісаць .

Пасля ўвядзення мноства цэлых лікаў  робіцца магчымай аперацыя адымання  лікаў з . У мностве рацыянальных лікаў магчымымі становяцца ўсе 4 арыфметычныя дзеянні.

Лікавай воссю называюць прамую, на якой выбраны пэўны пункт  (пачатак адліку), маштабны адрэзак  (даўжыня яго лічыцца роўнай 1) і дадатны кірунак ад  да .

Узнікае задача аб магчымасці паставіць у адпаведнасць кожнаму пункту  лікавай восі пэўны лік, які вызначае даўжыню адрэзку . Гэты лік будзем лічыць дадатным, калі  і знаходзяцца па адзін бок ад , і адмоўным – у процілеглым выпадку.

Адзначым, што пры гэтым кожнаму рацыянальнаму ліку  адпавядае на лікавай восі пэўны пункт. Сапраўды, мы ведаем спосаб пабудовы адрэзку, даўжыня якога складае   частку даўжыні адрэзку ,  (тэарэма Фалеса). Адкладаючы гэтую -ю частку  разоў, мы атрымаем пункт , які знаходзіцца на адлегласці  ад О. Такім чынам, пункту  адпавядае рэчаісны лік .

Пераканаемся, што пункту  не адпавядае ніякі рацыянальны лік.

□ (Ад процілеглага) Няхай || = – нескарачальны дроб. Тады , г.зн. што лік  ёсць цотны, а тым самым р – цотны. Няхай . Маем , г.зн.  – цотны лік ?!? (знак супярэчнасці) ■

Узнікае неабходнасць пашырэння мноства рацыянальных лікаў. Няцяжка пераканацца, што кожны рацыянальны лік можна падаць як бясконцы перыядычны дзесятковы дроб. (Падумаць самастойна або паглядзець літаратуру!) І наадварот, кожны бясконцы перыядычны дзесятковы дроб ёсць рацыянальны лік, г.зн. яго можна падаць у выглядзе . (Як пераўтварыць бясконцы перыядычны дзесятковы дроб у звычайны?) Такім чынам, мноства бясконцых перыядычных дзесятковых дробаў ёсць .

Бясконцыя неперыядычныя дзесятковыя дробы называюцца ірацыянальнымі лікамі. Аб’яднанне мностваў рацыянальных  і ірацыянальных лікаў  называюць мноствам рэчаісных лікаў і абазначаюць .

Такім чынам, маем .

Няхай два рэчаісныя лікі  і   маюць выяўленні: , . Лікі  і    называюцца роўнымі, калі . Калі дзесятковыя знакі лікаў  і   адпавядаюць умовам:  , то лік называецца меншым за лік . У выпадку  мае месца дамоўленасць: .

Адзначым дзве важныя надалей ўласцівасці рэчаісных лікаў:

1º.(Аксіёма Архімеда)  (тут  – мноства дадатных рэчаісных лікаў);

2º.(Шчыльнасць мноства ) .

Сярод найбольш ужываных мностваў рэчаісных лікаў назавем:

– адрэзак (замкнёны прамежак);

– інтэрвал (адкрыты прамежак).

def: Адвольны інтэрвал , якому належыць пункт , будзем называць ваколлем пункта . Сіметрычнае ваколле, г.зн. інтэрвал  () называюць -акругаю пункта .

def: Мноства  называецца абмежаваным зверху [знізу], калі  рэчаісны лік  такі, што . Лікі  і  называюць адпаведна верхняйі ніжняй межамі мноства . Мноства, абмежаванае як зверху, так і знізу называецца абмежаваным.

Практыкаванне Карыстаючыся правіламі дэ Моргана, сфармуляваць азначэнне неабмежаванага зверху [знізу] мноства.

( ,         [] )

Відочна, што ўсякае абмежаванае мноства мае бясконца многа як верхніх, так і ніжніх межаў. Чаму? (аксіёма Архімеда!)

def: Найбольшая з ніжніх межаў абмежаванага знізу мноства  называецца яго дакладнай ніжняй мяжою і абазначаецца  (чытаецца: інфімум).

def: Найменшая з верхніх межаў абмежаванага зверху мноства  называецца яго дакладнай верхняй мяжою і абазначаецца  (чытаецца: супрэмум).