Волны. Распространение продольной волны в стержне. Распространение плоской волны в неограниченном пространстве. Волновые уравнения и их решения

I семестр         ЛЕКЦИЯ 15

5.     Волны

5.1  Распространение продольной волны в стержне

Вопрос о распространении упругой волны рассмотрим на примере продольных колебаний длинного стержня постоянного сечения:

          или           , где      .

Будем искать частное решение в форме  , где функция  должна быть дважды дифференцируемой и по x , и по t.

Имея ввиду правила дифференцирования сложной функции

 

запишем выражения для частных производных:

      и     .

Здесь двумя штрихами обозначено двойное дифференцирование по аргументу .

Подставляя полученные выражения в уравнение ……, получаем

,                      откуда следует                .

Таким образом общее решение однородного уравнения свободных колебаний принимает вид

.

В такой форме решение принадлежит Даламберу.

Для определения функций ff воспользуемся начальными условиями, которыми задается состояние стержня в начальный момент времени t=0.  Пусть внешнее малое возмущение прикладывается к стержню в точке x=0 в момент времени  t=0

                              .

Тогда

      ;

.

Проинтегрируем второе уравнение по х:

.

Решая уравнения относительно функций получаем

После замены аргумента на и на решение принимает вид:

Рассмотрим такой стержень, получивший в начальный момент времени возмущение, представленное графически на рис.

Построим графики первого и второго слагаемых по отдельности (, а затем вместе,) в моменты времени   и  , а затем – в произвольный момент времени t рис….

Очевидно, что функции  и  не изменят своих значений, если не произойдет изменения аргументов:

,

.

Следовательно, при изменении времени на dt кривые    и  переместятся, соответственно, в положительном направлении и в отрицательном направлении оси х на adt. При этом скорость перемещения равна а – скорость распространения волн (в частности, звуковых) в материале (скорость звука):

Решение определено только условиями начала движения и не зависит от граничных условий. Оно справедливо только для бесконечно длинного стержня.

Решение можно использовать и для стержней конечной длины, но при этом нужно учесть отражение волн от концов стержня и наложение отраженных волн на основное решение.

 5.2 Уравнения движения в безграничном упругом пространстве

Задачи о колебаниях упругих тел ограниченных размеров, решение для которых представлялось в виде разложения по собственным формам, которое также называют решением в стоячих волнах (неизменные во времени).

  Понятие о собственных формах колебаний теряет смысл, когда мы имеем дело с упругим телом бесконечных размеров.

·  Во-первых, собственные частоты уже более неопределимы (их находят из характеристического уравнения однородной системы уравнений, описывающей граничные условия),

·  во-вторых, для реализации колебаний по некоторой форме, описываемой функцией, заданной на бесконечном диапазоне , потребовался бы ввод неограниченного количества энергии.

В телах неограниченных размеров колебания изучаются в рамках волновой теории. Задача ставится следующим образом:  упругая среда находится в покое, конечное возмущение создается в некоторой части среды; требуется определить движение точек среды без разложения в бесконечный ряд.

, где   - объемная деформация,

                                                  - параметр Ляме.

;

Уравнения равновесия, выраженные через перемещения (уравнения Ляме):

, где  - оператор Лапласа.

Если объемные силы представлены силами инерции    и т.п., то уравнения равновесия становятся уравнениями движения элементарного объема и приобретают вид:

5.3 Распространение плоской волны в неограниченном пространстве

Пусть внешнее  возмущение в момент времени  t=0 смещением плоскости, перпендикулярной оси х, как жесткого целого, т.е. u₀, v₀, w₀,  и соответствующие скорости являются функциями только х .

В уравнениях движения исчезают производные по y и z и они принимают вид

                               

                              

или

,                             ,                    

Здесь  и  скорости распространения продольной и двух поперечных волн.

Общее решение этих уравнений получено Даламбером в виде

Первое уравнение описывает движение продольной волны – волны расширения-сжатия – скорость а1.

Два других уравнения описывают распространение вдоль оси х перемещений, перпендикулярных к оси х – т.е. распространение поперечных волн. Этот процесс имеет аналогичный  движению продольной волны характер: прямая и обратная волны распространяются со скоростью а2 и называются  также волнами сдвига.

5.4 Волновые уравнения и их решения

Уравнения движения, решение которых имеет вид решения Даламбера, в виде прямой и обратной волны, называются волновыми уравнениями:

• Продольная волна в стержне бесконечной длины
          или             ;
• Плоская волна в бесконечном упругом пространстве
  ,                             ,                     ;
• Распространение в бесконечном упругом пространстве движения при начальных условиях общего вида   после преобразований уравнений **)
• ;          ;        ,
  где    - компоненты вращения элементарного объема.
• Начальное возмущение в форме шара и переход в уравнениях Ляме к полярным координатам приводит к уравнению распространения сферической волны.
• Рассмотрение движения в упругом полупространстве приводит к задаче о поверхностных волнах – волнах Рэлея. Решение задачи связано с именами Рэлея и Лэмба. Основной результат можно описать следующим образом: в точке поверхности, находящейся на некотором расстоянии от области возмущения последовательно пройдут три волны: продольная волна безвихревого расширения-сжатия а1, поперечная волна равнообъемного искажения формы а2<а1 и поверхностная волна    а<а2. при этом наибольшие амплитуды имеют волны Рэлея и их влияние возрастает с удалением от источника возмущения.

Все эти постановки рассматривают тела бесконечных размеров. Применение полученных решений к телам ограниченных размеров требует учета явлений отражения, преломления и интерференции (наложения) волн.

Волна переносит энергию, а не материю. (чайки)

Все эти постановки предполагают, что функции, входящие в общее решение как минимум дважды дифференцируемы. Следовательно, решение не предполагает разрывов в скоростях и в напряжениях. Волны, несущие разрыва скоростей и напряжений называются ударными волнами. Задача распространения ударных волн требует другой постановки.