Поскольку волновой пакет, или цуг
волн оказывается суперпозицией гармоник с различными частотами,
возникает вопрос о поведении этих волн в среде распространения. Представим
волновой пакет в виде импульса, длительность которого значительно превышает
период колебаний электромагнитного поля в световой волне (рис. 2.1). Из-за
инерционности любой фотоприемник не реагирует на мгновенную величину поля.
Поэтому при измерениях скорости света реально регистрируется скорость
распространения медленно меняющейся огибающей импульса, а не заполняющей его
высокочастотной синусоиды.
Можно показать, что скорость
монохроматической волны, определяемая как скорость перемещения волнового фронта,
т. е. поверхности равной фазы, (фазовая скорость) равна
, а скорость импульса как целого (групповая
скорость) –
. (2.1)
Для вакуума обе эти величины совпадают, поскольку частота и волновое число связаны соотношением w = ck, но в любых других средах эта зависимость более сложная. Функцию w = w(k) (рис. 2.2) можно определить, зная дисперсию среды, т. е. зависимость показателя преломления от длины волны или частоты: n = n(w) или n = n(l). Найдем связь групповой и фазовой скорости:
.
Переходя к независимой переменной l с учетом соотношения k = 2p/l, приходим к формуле Рэлея
. (2.2)
Очевидно, возможны три случая:
1. . Дисперсия отсутствует. Строго говоря,
эта ситуация реализуется только в вакууме, но на практике бывает, что
дисперсией можно пренебречь, например, при распространении света в воздухе;
2. . Показатель преломления убывает с
ростом длины волны. Такую дисперсию называют нормальной, и в этом
случае групповая скорость меньше фазовой. Такой тип дисперсии
типичен для прозрачных сред. Функция w = w(k), показанная на рис. 2.2,
соответствует нормальной дисперсии (см. задачу 4 к данному разделу).
3. . Показатель преломления растет с
ростом длины волны. Такая дисперсия называется аномальной, для
областей аномальной дисперсии характерно превышение групповой скорости
над фазовой и сильное поглощение света.
![]() |
Отметим также, что идеально монохроматическая волна не переносит какой-либо информации, поэтому теория относительности не накладывает каких-либо ограничений на фазовую скорость, и возможны среды, в которых n < 1 и V > c.
Показатель преломления в среде может зависеть не только от частоты w, но и от волнового вектора k. Соответственно различают дисперсию временную n = n(w) и пространственную n = n(k). Последняя проявляется в виде анизотропии, т. е. зависимости свойств среды от направления. На языке фазовой и групповой скорости временная дисперсия означает отличие V от U по величине, а пространственная – по направлению.
Напомним некоторые важные соотношения между физическими
параметрами, характеризующими электрические свойства сред. Как известно, связь
между индукцией и напряженностью электрического
поля может быть записана двояко. Относительная диэлектрическая
проницаемость e показывает, во
сколько раз изменяется поле при попадании в среду: .
С другой стороны, поляризация среды: описывает аддитивную добавку
к внешнему полю:
. В приближении линейной
теории поляризация пропорциональна напряженности поля:
,
где c – диэлектрическая восприимчивость.
Отсюда находим, что диэлектрическая проницаемость и поляризуемость связаны
соотношением
. В свою очередь диэлектрическая
проницаемость определяет показатель преломления среды: n2 = e. Таким образом, определив частотную
зависимость c(w), легко найти также зависимости e(w) и n(w),
т. е. закон дисперсии.
Отметим, что вектор поляризации среды P отстает по
фазе от внешнего поля световой волны Е, вследствие чего диэлектрическая
восприимчивость c(w), а, следовательно, и показатель
преломления n(w) являются
комплексными величинами. Очевидно, что комплексный показатель преломления не может трактоваться просто как
отношение скоростей света в вакууме и в среде. Для выяснения физического смысла
запишем уравнение монохроматической
световой волны, распространяющейся вдоль оси Z:
, (2.3)
Из (10) видно, что в среде с k ¹ 0 амплитуда поля убывает по мере проникновения света в глубь среды, т. е. происходит поглощение. Переходя от напряженности к интенсивности света, получаем:
, (2.4)
где коэффициент поглощения .
Соотношение (2.3) носит название закона Бугера-Ламберта-Бэра. Таким образом, действительная
часть комплексного показателя преломления определяет преломляющие (рефракционные)
свойства среды. Мнимая часть описывает поглощение
(абсорбционные свойства).
Обе части не являются независимыми: они связаны некоторыми общими интегральными соотношениями Крамерса-Кронига, что указывает на глубокую взаимосвязь казалось бы различных эффектов преломления и поглощения.
В квазиупругой модели атома движение электрона описывается уравнением, аналогичным (1.2) с той разницей, что в правой части присутствует вынуждающая сила, обусловленная падающей световой волной:
, (2.5)
где e – заряд, m – масса электрона.
Стационарное решение этого уравнения имеет вид
. (2.6)
В результате смещения электрона из своего положения равновесия, атом
приобретает наведенный дипольный момент p = ex. Если среда
достаточно разряженная (взаимовлиянием поляризованных атомов друг на друга
можно пренебречь), то поляризация среды пропорциональна концентрации атомов N:
P = e0Np.
Следовательно, из (2.6) находим, что восприимчивость среды равна , где
–
плазменная частота, физический смысл которой подробно обсуждается в разделе
2.4. Таким образом, вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической
проницаемости, описывающие дисперсию и поглощение света, оказываются равными
, (2.7)
. (2.8)
Анализ соотношений (2.7) и (2.8) упрощается, если
показатель преломления близок к 1, коэффициент поглощения мал, а частота света w близка к собственной частоте осциллятора w0, так что . Тогда
, (2.9)
. (2.10)
![]() |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.