Изучение классической теории дисперсии

Классическая теория дисперсии

1.1.  Групповая и фазовая скорости. Дисперсионная зависимость

Поскольку волновой пакет, или цуг волн оказывается суперпозицией гармоник с различными частотами, возникает вопрос о поведении этих волн в среде распространения. Представим волновой пакет в виде импульса, длительность которого значительно превышает период колебаний электромагнитного поля в световой волне (рис. 2.1). Из-за инерционности любой фотоприемник не реагирует на мгновенную величину поля. Поэтому при измерениях скорости света реально регистрируется скорость распространения медленно меняющейся огибающей импульса, а не заполняющей его высокочастотной синусоиды.

Можно показать, что скорость монохроматической волны, определяемая как скорость перемещения волнового фронта, т. е. поверхности равной фазы, (фазовая скорость) равна , а скорость импульса как целого (групповая скорость) –

.                                      (2.1)

Для вакуума обе эти величины совпадают, поскольку частота и волновое число связаны соотношением w = ck, но в любых других средах эта зависимость более сложная. Функцию w = w(k) (рис. 2.2) можно определить, зная дисперсию среды, т. е. зависимость показателя преломления от длины волны или частоты: n = n(w) или n = n(l). Найдем связь групповой и фазовой скорости:

.

Переходя к независимой переменной l с учетом соотношения k = 2p/l, приходим к формуле Рэлея

.                                       (2.2)

Очевидно, возможны три случая:

1.  . Дисперсия отсутствует. Строго говоря, эта ситуация реализуется только в вакууме, но на практике бывает, что дисперсией можно пренебречь, например, при распространении света в воздухе;

2.  . Показатель преломления убывает с ростом длины волны. Такую дисперсию называют нормальной, и в этом случае групповая скорость меньше фазовой. Такой тип дисперсии типичен для прозрачных сред. Функция w = w(k), показанная на рис. 2.2, соответствует нормальной дисперсии (см. задачу 4 к данному разделу).

3.  . Показатель преломления растет с ростом длины волны. Такая дисперсия называется аномальной, для областей аномальной дисперсии характерно превышение групповой скорости над фазовой и сильное поглощение света.

В области аномальной дисперсии из формулы Рэлея может получиться, что U > c, т. е. групповая скорость больше скорости света в вакууме. Этот результат, очевидно, противоречит теории относительности, в соответствии с которой скорость света в вакууме есть предельная скорость передачи информации. Причиной неприменимости формулы Рэлея в данном случае является деформация световых импульсов (рис. 2.3), вследствие чего само понятие групповой скорости, как скорости перемещения импульса, нуждается в уточнении. При нормальной дисперсии (рис. 2.3а) максимум импульса отстает от переднего фронта, при аномальной (рис. 2.3б) – максимум смещается вперед.

Отметим также, что идеально монохроматическая волна не переносит какой-либо информации, поэтому теория относительности не накладывает каких-либо ограничений на фазовую скорость, и возможны среды, в которых n < 1 и V > c.

Показатель преломления в среде может зависеть не только от частоты w, но и от волнового вектора k. Соответственно различают дисперсию временную n = n(w) и пространственную n = n(k). Последняя проявляется в виде анизотропии, т. е. зависимости свойств среды от направления. На языке фазовой и групповой скорости временная дисперсия означает отличие V от U по величине, а пространственная – по направлению.

1.2.  Дисперсионные соотношения для изотропного диэлектрика

Напомним некоторые важные соотношения между физическими параметрами, характеризующими электрические свойства сред. Как известно, связь между индукцией и напряженностью электрического поля может быть записана двояко. Относительная диэлектрическая проницаемость e показывает, во сколько раз изменяется поле при попадании в среду: . С другой стороны, поляризация среды: описывает аддитивную добавку к внешнему полю: . В приближении линейной теории поляризация пропорциональна напряженности поля: , где c – диэлектрическая восприимчивость. Отсюда находим, что диэлектрическая проницаемость и поляризуемость связаны соотношением . В свою очередь диэлектрическая проницаемость определяет показатель преломления среды: n² = e. Таким образом, определив частотную зависимость c(w), легко найти также зависимости e(w) и n(w), т. е. закон дисперсии.

Отметим, что вектор поляризации среды P отстает по фазе от внешнего поля световой волны Е, вследствие чего диэлектрическая восприимчивость c(w), а, следовательно, и показатель преломления n(w) являются комплексными величинами. Очевидно, что комплексный показатель преломления  не может трактоваться просто как отношение скоростей света в вакууме и в среде. Для выяснения физического смысла  запишем уравнение монохроматической световой волны, распространяющейся вдоль оси Z:

,                                                                    (2.3)

Из (10) видно, что в среде с k ¹ 0 амплитуда поля убывает по мере проникновения света в глубь среды, т. е. происходит поглощение. Переходя от напряженности к интенсивности света, получаем:

,                                                       (2.4)

где коэффициент поглощения . Соотношение (2.3) носит название закона Бугера-Ламберта-Бэра. Таким образом, действительная часть комплексного показателя преломления определяет преломляющие (рефракционные) свойства среды. Мнимая часть описывает поглощение (абсорб­ционные свойства).

Обе части не являются независимыми: они связаны некоторыми общими интегральными соотношениями Крамерса-Кронига, что указывает на глубокую взаимосвязь казалось бы различных эффектов преломления и поглощения.

1.3.  Нормальная и аномальная дисперсия

В квазиупругой модели атома движение электрона описывается уравнением, аналогичным (1.2) с той разницей, что в правой части присутствует вынуждающая сила, обусловленная падающей световой волной:

,                                   (2.5)

где e – заряд, m – масса электрона.

Стационарное решение этого уравнения имеет вид

.                                   (2.6)

В результате смещения электрона из своего положения равновесия, атом приобретает наведенный дипольный момент p = ex. Если среда достаточно разряженная (взаимовлиянием поляризованных атомов друг на друга можно пренебречь), то поляризация среды пропорциональна концентрации атомов N: P = e₀Np. Следовательно, из (2.6) находим, что восприимчивость среды равна , где  – плазменная частота, физический смысл которой подробно обсуждается в разделе 2.4. Таким образом, вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости, описывающие дисперсию и поглощение света, оказываются равными

,                             (2.7)

.                               (2.8)

Анализ соотношений (2.7) и (2.8) упрощается, если показатель преломления близок к 1, коэффициент поглощения мал, а частота света w близка к собственной частоте осциллятора w₀, так что . Тогда

,                                      (2.9)

.                                         (2.10)

Графики функций n(w)–1 и k(w) показаны на рис. 2.4. () Как видно, если частота света достаточно далека от w₀, показатель преломления растет с частотой, т. е. имеет место нормальная дисперсия. Аномальная дисперсия наблюдается только вблизи w₀, но в этой области существует сильное поглощение.