Экономика и менеджмент \ Финансовая и актуарная математика

Портфель ценных бумаг. Динамика (временной ряд) годовых доходностей по акциям заданных конкретных фирм, страница 3

Модель Блэка

Математическая постановка задачи. Требуется найти ,  — долю капитала, вложенного в ценные бумаги -го вида, минимизирующие дисперсию доходности портфеля при условии, что ожидаемое значение доходности равно . Тогда математическую постановку задачи можно записать:

Таким образом, имеем задачу условной минимизации с двумя ограничениями. Функцию, для которой ищется условный экстремум, с учетом статистических данных по акциям можно записать в виде

 

Воспользуемся методом Лагранжа. Для этого исходные ограничения запишем в виде

Теперь построим функцию Лагранжа:

здесь  принимает заданное значение.

Согласно методу Лагранжа, будем искать экстремум функции L, зависящей от шести переменных . Найдем частные производные и решим систему уравнений:

Получим

> restart;

> m1:=0.120249852:

> m2:=0.195391685:

> m3:=0.116449919:

> m4:=0.128326214:

> mp:=0.06[e15] :

> cov11:=0.096901091:

> cov12:=0.01756052:

> cov13:=0.00689192:

> cov14:=0.00760311:

> cov22:=0.063343174:

> cov23:=0.021004461:

> cov24:=0.022625121:

> cov33:=0.059234:

> cov34:=0.015834:

> cov44:=0.013286308:

> y1:=2*cov11*x1+2*cov12*x2+2*cov13*x3+2*cov14*x4+m1*l1+l2;

> y2:=2*cov12*x1+2*cov22*x2+2*cov23*x3+2*cov24*x4+m2*l1+l2;

> y3:=2*cov13*x1+2*cov23*x2+2*cov33*x3+2*cov34*x4+m3*l1+l2;

> y4:=2*cov14*x1+2*cov24*x2+2*cov34*x3+2*cov44*x4+m4*l1+l2;

> y5:=m1*x1+m2*x2+m3*x3+m4*x4-mp;

> y6:=x1+x2+x3+x4-1;

> s:=solve({y1=0,y2=0,y3=0,y4=0,y5=0,y6=0});

[e16] 

Аналогично получим[e17] 

Доходность

Риск

Структура оптимального портфеля

0.06

0.160677213

0.092

-1.019

-0.0622

1.988

0.08

0.1236066776

0.0785

-0.724

-0.073

1.719

0.1

0.1013662062

0.064

-0.43

-0.085

1.45

0.11

0.09924207817

0.057

-0.282

-0.09

1.315

0.15

0.1482635441

0.029

0.307

-0.113

0.777

0.18

0.2135680963

0.008

0.748

-0.13

0.373

[e18] 

 [e1]Так как в формуле текущее значение доходности высчитываем через цену в будущем году- последняя строчка пустая

 [e2]Графики строятся при помощи ексель

 [e3]((значение доходности акции 1 за первый год – среднее значение доходности акции 1)^2+(значение доходности акции 1 за 2 год – среднее значение доходности акции 1)^2+…..)/13

 [e4]Среднее значение доходности акции 2

 [e5]((значение доходности акции 2 за 1 год-среднее значение доходности акции 1)(значение доходности акции 1 за 1 год – среднее значение доходности акции 1 )+ (значение доходности акции 2 за 2 год-среднее значение доходности акции 1)(значение доходности акции 1 за 2 год – среднее значение доходности акции 1 )+……)/13

 [e6]Среднее значение доходности за текущий год (доходность 1 акции за этот год+ значение доходности 2 акции за этот год + ……)/13

 [e7]Среднее значение доходности (сумма всех средних доходностей)/13

 [e8](среднее значение за первый год – среднее значение)^2+(среднее значение за второй год-среднее значение)^2

 [e9]((доходность 1акции за 1 год-среднее значение доходности  1 акции)(доходность 2 акции за 1 год – среднее значение 2 акции)+(доходность первой акции за 2 год-сред знач 1 акции)*(доходность 2 акции за 2 год- ср знач доходности 2 акции)……)\13

 [e10]Например Бетта1= V51/V55  Бетта2=V52/V55

V берем из предыдущей таблице

 [e11]Например Альфа1=мат ожидание1(m1)-Бетта1*мат ожидание всего рынка (значение СРЕДНЕЕ в предыдущей таблице)

 [e12]Сумма бета должна быть 4

 [e13]Сумма всех альфа должна быть 0

 [e14]Эти значения придумываем сами

 [e15]Сюда вводим значение доходности

 [e16]Это нужные нам значение иксов

 [e17]Высчитываем в мэпле для каждого значения доходности

 [e18]Строим график в екселе

Скачать файл