Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Тульский государственный университет
Кафедра прикладной математики и информатики
Математическое моделирование
Лабораторная работа №2
“Моделирование задачи нахождения стационарного температурного поля неограниченной пластинки”
Выполнил студент группы
Принял
Будем предполагать, что пластина имеет постоянную толщину, теплопроводность и коэффициент теплообмена. Температура внешней среды является постоянной.
При выводе дифференциального уравнения считаем, что температура по толщине пластинки не изменяется. Оси координат х и у расположим в срединной плоскости пластинки. Рассмотрим тепловой баланс элемента пластинки, имеющего размеры dx, dy, h.
Пластина находится в среде, температура которой равна , теплообмен между пластиной и средой
определяется зависимостью
,
(1) где q – поток тепла, уходящего от пластины в окружающую
среду, отнесенный к единице длины пластины, b – коэффициент теплообмена, Т – температура
пластины.
Количество тепла, протекающее через грань параллелепипеда, перпендикулярной оси, например Ох, пропорционально промежутку времени Dt (тепловой поток), скорости изменения температуры и площади грани S, т.е.
, где k – коэффициент теплопроводности. Из курса анализа
известно, что значение производной в точке х + Dх
будет равно
(с точностью до бесконечно
малых высшего порядка). Поэтому величина потока, выходящего через грань
параллелепипеда, равна
.
Взяв разность величин входящего и выходящего тепловых потоков, получим количество тепла DQ, сообщенное выбранному участку за время Dt:
.
Составив условие равенства нулю суммы потоков тепла, проходящих через грани рассматриваемого параллелепипеда, получим
или
, т.е.
,
(4)
где .
Положим, что пластинка имеет неограниченные размеры, и рассмотрим действие точечного источника. За начало координат примем точку, где находится источник тепла. Область действия источника будет представлять собой окружность с r ® ¥. В этом случае, уравнение примет вид
.
(6)
Граничные условия этой задачи формулируются следующим образом:
1) Так как в начале координат имеется источник тепла Q, то при r ® 0
;
2)
В бесконечно удаленной
точке = 0 и потому при
.
Решение уравнения (6) имеет вид
;
(7)
так как при gr ® ¥ ,
а
, то из условия 2) следует С = 0.
Для определения D воспользуемся условием 1):
В силу того, что , то
.
(8)
Но при х ® 0, , поэтому
. Отсюда получаем
,
и, следовательно,
.
Решение задачи в пакете МAPLE 6:
> restart;
> rho1:=7.7;
c1:=0.23;
beta1:=0.3;
> Q:=1300;
k:=3.5;
h:=0.01;
> T:=proc(T0,beta,c,rho,h,r)
local U,a,Gamma;
a:=k/c/rho;
Gamma:=2*beta/a/h;
U:=T0+Q/(2*Pi*a*h)*BesselK(0,Gamma*r);
evalf(U);
end proc:
> plot([T(100,1,c1,rho1,.1,r),T(100,0.7,c1,rho1,.1,r)],r=0..0.6);
|
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.