Моделирование задачи теплового удара на поверхности полупространства. Приобретение навыков моделирования задачи теплового удара на поверхности полупространства

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Тульский государственный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

Математическое моделирование 

Лабораторная  работа  №1

“Моделирование задачи теплового удара

на поверхности полупространства”

Выполнил студент группы                       

Принял                                                                      

Тула, 2005г.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Приобретение навыков моделирования задачи теплового удара на поверхности полупространства.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

Рассмотрим полупространство, занимающее область  при тепловом ударе га его поверхности . Пусть начальная температура полупространства и среды, омывающей его поверхность , равна . В момент полупространство подвергалось тепловому воздействию среды, температура которой мгновенно повышается до значения .

Между средой и поверхностью в дальнейшем происходит конвективный теплоомен. Нестационарное температурное поле полупространства  при отсутствии источников тепла описывается уравнением

,                                                                                                       (1)

где  - температуропроводность материала полупространства, и условиями

 при                                                                              (2)

(распределение температуры в начальный момент времени)

                                                                               (3)

(граничное условие), где  - коэффициент теплопроводности,  - коэффициент теплоотдачи на поверхности,  - внешняя нормаль к поверхности.

Для рассматриваемой одномерной задачи выражения (1)-(3) принимают вид

;                                                                                                      (4)

 при ;                                                                                               (5)

 при                                                                              (6)

В граничном условии (6) учитывается, что направление внешней нормали к поверхности  противоположно направлению оси .

Применим интегральное преобразование Лапласа к уравнению (4) и условиям (5) и (6). Имеем . Отсюда

  ;

        

   при х=0      

С учетом               

          

Тогда     

* =                         (8)

Решение уравнения (4) в частных производных сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения

                                                                                  (7)

          

Общее решение:

Частное решение:     

   

                                        (9)

Здесь следует положить , так как температура с увеличением  не должна возрастать. Поэтому

                                                                                            (10)

Подставляя (10) в уравнение (8), находим

  

х=0, поэтому

                                (11)

Следовательно, изображение температуры полупространства

                                                                               (12)

Изпользуя для нахождения оригинала таблицу, находим искомое решение:

                    (13)

где  ;  - интеграл вероятности.

МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ алгоритма:

> restart;

> T:=(T0,Q,a,alpha,lambda,t,x)->T0+(Q-T0)*(erfc(x/(2*sqrt(a*t)))-exp(2*x/lambda+alpha^2/lambda^2*a*t)*erfc(x/(2*sqrt(a*t))+alpha/lambda*sqrt(a*t)));

> Q:=100*13;T0:=50;

> alpha:=3;lambda:=0.5;a:=0.5;

> plot(T(T0,Q,a,alpha,lambda,t,2),t=0..30)

Рис_1:Кривая распределения  температуры в зависимости отвремени в фиксированной точке полупространства

> plot(T(T0,Q,a,alpha,lambda,2,x),x=0..10);

	Рис_2:Кривая распределения  температуры в зависимости отглубины полупространства для различных моментов времени.