Гистограмма. Построение гистограммы распределения случайной величины и сопоставление ее с плотностью

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5

         Гистограмма

1.Цель и задачи.

Научиться строить гистограмму распределения случайной величины и сопоставлять ее с плотностью.

2.Теоретические сведения.

Пусть  X  - случайная величина, принимающая значения на отрезке  [a,b]..

Разобъем отрезок на  nr частей (для простоты равных)  и подсчитаем вероятность попадания случайной величины в каждую из них

                                                    

                                                       

Ступенчатая функция, принимающая на промежутке  [a+(i-1)h,a+ih)

значение   /h, называется    гистограммой распределения случайной величины X.

Промежутки  [a+(i-1)h,a+ih);i=1,2,...,nr называются разрядами гистограммы, площадь прямоугольника, построенного на i-том промежутке равна  ,сумма всех площадей равна 1. Гистограмма является приближением плотности случайной величины  X : при   последовательность гистограмм сходится к плотности (как минимум в среднем, при непрерывной плотности - равномерно).

Если  X - известная случайная величина, то гистограмма фактически не нужна.

Иное дело, когда  X  неизвестна, а в нашем распоряжении имеется только выборка наблюдаемых значений  X

                                                                  

В этой ситуации мы может найти частоты попадания  в i-й разряд гистограммы , где   -количество наблюдаемых значений, попадающих в i-й разряд, и построить ступенчатую функцию, принимающую на промежутке

[a+(i-1)h,a+ih) значение   Из закона больших чисел  следует, что она приближается к гистограмме . По виду гистограммы можно сделать предположение о законе распределения  X. и поставить задачу об определении параметров распределения.

Ниже приводится примерная программа построения гистограммы.

Для обращения к ней необходимо задать число разрядов   nr и массив частот gist[] , gist[i]= , i=1,2,...,nr.

В программе, приводимой ниже, строится гистограмма нормального распределения, формируемого функцией norm(). 

Программа 4

# include <stdio.h>

# include <stdlib.h>

# include <conio.h>

# include <math.h>

# include <graphics.h>

/* датчик случайных чисел */

double uni()

{

  double dr=rand();

  return dr/RAND_MAX;

}

/* имитация нормального распределения */

double norm()

{

  int k; double s=-6.0;

  for(k=0; k<12; k++) s=s+uni();

  if(s>6.0) s=6.0; 

  return s;

}

/* построение гистограммы */ 

void gistogramma(double a,double b,int nr,double *gist)

{

  int i,j,x1,y1,x2,y2;

  int gdriver=DETECT,gmode,maxx,maxy,pole=40;

  double dnr=nr,mxg,mx,my;

/* установка графического режима*/ 

  initgraph(&gdriver.&gmode,””};

  maxx=getmaxx(); maxy=getmaxy();

/* ось абсцисс,подписи и масштабные коэффициенты */ 

moveto(pole,maxy-pole); lineto(maxx-pole,maxy-pole);

  line(pole,maxy-pole-3,pole,maxy-pole+3};

  gcvt(a,3,str);outtext(pole-1,maxy-pole+5,str);                                   

  line(maxx-pole,maxy-pole-3,maxx-pole,maxy-pole+3};

  gcvt(b,3,str);outtext(maxx-pole-1,maxy-pole+5,str);

  mx=(maxx-2*pole)/(b-a);

  for(i=0,mxg=0;i<nr;i++)if(gist[i]>mxg)mxg=gist[i];

  my=(maxy-2*pole)/ mxg;

/* гистограмма */

  x1=pole;y1=maxy-pole;moveto(x1,y1);

  for(i=0;i<nr;i++) {

    x1=(1.0-i/dnr)*pole+(i/dnr)*(maxx-pole);

    x2=(1.0-(i+1)/dnr)*pole+((i+1)/dnr)*(maxx-pole);

    y2=y1-my*gist[i];

    lineto(x1,y2); lineto(x2,y2); lineto(x2,y1);

  }

  getch();

  closegraph();

}

main()

{

int i,j,k,n=10000,nr=50;

double s,*gist;

randomize();

gist=malloc(nr*sizeof(double));

for(i=0;i<nr;i++) gist[i]=0;

/* сбор статистки */

    for(i=0;i<n;i++) {

        j=((6.0+norm())/12.0)*nr;

        gist[j]++;

    }

    s=(nr/12.0)/n;

    for(i=0;i<nr;i++) gist[i]=gist[i]*s;

    gistogramma(-6.0,6.0,nr,gist);

}

Пояснения к программе 4.

1.  Гистограмма строится модулем  gistogramma, в который передаются следующие параметры

nr - число разрядов;

gist – адрес массива из  nr  высот ступенек;

a,b- концы промежутка, на котором задана случайная величина (нужны только для надписей).

2.  Массив   gist   готовится в главной программе путем многократных

"наблюдений" случайной величины (в примере путем ее многократной реализации).

Номер разряда гистограммы, в который попадает конкретное значение   x

случайной величины, равен, очевидно, целой части выражения

                                                                      

и вычисляется просто в результате присвоения этого выражения целочисленной переменной j.

3.   Гистограмма рисуется так, чтобы использовать всю площадь экрана, для чего использует масштабные коэффициенты  mx и  my.

Задание.

1. Построить гистограмму равномерного распределения (uni()).

2. "Поиграться" с программой 4.изменяя число разрядов,число наблюдений и др..

Оформление отчета.

Отчет должен содержать:

- математическую справку об основных распределениях и графики их плотностей;

- текст своей программы с пояснениями.