Бесконечная система векторов. Характеристическое уравнение симметричного оператора. Двусторонний гиперболоид

ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА

1.  если и только если

Ответ: - нулевое   (3)

2.  является

Ответ: эллипсом или эллиптическим цилиндром (?)

3. а = (1, -1,3), b = (-2, 2,1), с= (3, -2,5). Смешанное произведение  равно

Ответ:  -7    (1)

4. Бесконечная система векторов называется линейно-зависимой, если

Ответ: существует конечная линейно зависимая подсистема ее векторов  (2)

5. В  обратным для  является

Ответ:  число 

6. В кольце обратным для  является

Ответ:  число    (1)

7. Вектор в пространстве C комплексных чисел над полем R в базисе  имеет координаты

Ответ: (16,-3)  (?)

8. Верно ли, что всякая квадратная матрица подобна треугольной

Ответ: да (?)

9. Верно ли, что характеристическое уравнение симметричного оператора имеет лишь действительные корни?

Ответ: да (1)

10. Дана точка М(2, —1,1) и плоскость 5х — Зу + z — 18 = 0.

Ответ: точка M и начало координат лежат по одну сторону от плоскости  (1)

11. Двусторонний гиперболоид имеет уравнение

Ответ:   (?)

12. Для матрицы  обратной является матрица

Ответ:    (?)

13. Для того  чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Ответ:  ранг матрицы  равнялся рангу расширенной матрицы   (2)

14. Единичная матрица — это

Ответ: квадратная матрица, по диагонали которой идут 1, а остальные элементы 0 (?)

15. Если в линейно-зависимой системе поменять местами два вектора, то

Ответ:  система останется линейно – зависимой  (2)

16. Если в нулевой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю, то

Ответ:  система  линейно зависима  (2)

17. Если в определителе 3-го порядка элементы 1-й строки умножить на , 2-й на , 3-й на , то

Ответ: умножится на  (2)

18. Если в определителе 3-го порядка к элементам 1-й строки прибавить элементы второй, то

Ответ:  значение определителя не изменится  (?)

19. Закон инерции квадратичных форм утверждает, что

Ответ: одну и ту же квадратичную форму можно привести к каноническому виду различными способами, но число слагаемых с положительным коэффициентами, так же как и число слагаемых с отрицательными коэффициентами, во всех случаях будет неизменно (?)

20. Какое из множеств с обычной операцией умножения является группой: М={1}, S ={-1,1}.

Ответ:  и   (3)

21. Какое из этих утверждений верно?

Ответ: поле комплексных чисел алгебраически замкнуто (3)

22. Какое утверждение верно?

Ответ: всякий линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, имеет по крайней мере один собственный вектор (2)

23. Какое утверждение верно?

Ответ: симметричный линейный оператор в любом ортогональном базисе имеет симметричную матрицу (2)

24. Каноническое уравнение гиперболы — это уравнение

Ответ:  (2)

25. Каноническое уравнение гиперболического параболоида — это уравнение

Ответ:  (3)

26. Каноническое уравнение параболы — это уравнение

Ответ:  (3)

27. Каноническое уравнение эллипса — это уравнение

Ответ:  (?)

28. Квадратичной формой от переменных  называется

Ответ: всякий однородный многочлен 2 степени этих переменных (2)

29. Корневое подпространство матрицы  имеют размерности

Ответ: 3   (3)

30. Корневое подпространство матрицы  имеют размерности

Ответ:  2,1  (2)

31. Критерий Сильвестра утверждает, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда

Ответ: все главные миноры ее матрицы положительны (3)

32. Линейный оператор А : Х —>У однозначно определяется

Ответ: образами базисных векторов пространства X (3)

33. Линейное пространство Х является прямой суммой своих подпространств Y и Z тогда и только тогда, когда

Ответ: базис пространства X есть объединение базисов Y и Z  (4)

               каждый вектор  единственным образом представим в виде     (2)

34. Линия второго порядка тогда и только тогда имеет единственный центр, когда 

Ответ:  (?)

35. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова подпространства

Ответ: линейно независима (является базисом пространства) (?)

36. Матрицы А и В

Ответ: если подобны,то эквивалентны (2)

37. Матрицей квадратичной формы может быть

Ответ: любая симметричная матрица (?)

38. Матрица называется ортогональной, если

Ответ:(2)

39. Матрица называется симметричной, если

Ответ: (?)

40. Матрица преобразования координат при переходе от одного базиса к другому

Ответ: всегда не вырождена (2)