Модель экономики Приморского за 2003 г. в виде оптимизационной задачи. Модификация модели с критерием максимизации конечного потребления

Пример 2.1. Построить модель экономики Приморского края за 2003 г. в виде оптимизационной задачи вариант 1,2,3 решить ее.

Пример 2.2. Построить модель экономики Приморского края за2003 г. в виде оптимизационной задами с заданным темпом роста и решить ее.

Пример 2.3. Построить модель экономики Приморского края за 2003 г. в виде векторной задачи линейного программирования и решить ее.

Пример 2.1. Максимизация внутреннего конечного спроса (или конечного потребления) в заданном ассортименте- модель (7.1.1 И⁷¹ представлена в трех вариантах 20а, 206,20в.

Пример 2.1 а. Построить модель экономики Приморского за 2003 г. в виде оптимизационной задачи (вариант I) и решить ее.

Дано. Межотраслевой баланс предприятия из примера 1 Матрицы затрат и ограничения по ресурсам полностью сохраняются. В составе внутреннего конечного спроса зафиксируем у1= 12 ООО тыс. руб., поскольку нет особого смысла стремиться к увеличению использования сырья сверх нормативных потребностей. Вектор α будет включать положительные компоненты α2=0,72 и α3=0,28. Вектор Q будет включать фиксированное сальдо внешних связей и y1 = 12 ООО, т.е.:

0.0           33200       66000

α=0.72   Q=-7600    N=50000

0.28        11900        76000

Требуется построить математическую модель максимизации внутреннего конечного спроса региона в виде оптимизационной задачи и решить ее.

Решение. В качестве неизвестного примем: z - величина общего объема внутреннего конечного спроса, z= {y1+y2}, У1-конечное потребление, у₂ - конечное накопление, Q={q_j,j=1,n} вектор-столбец фиксированных величин КС (например, сальдо внешних связей), у = z+ Q - конечный спрос; α = (a_j j= l,n) - вектор-столбец структуры внутреннего КС, для удобства принимаем:  ∑ⁿ _j=1 α _j =1. С учетом этих числовых величин модель примет вид: z—► шах,

0,9х, - 0,27х2 - 0,16х3≥33 200,

-0,05х1+ 0,84х2 - 0,2 х3 – 0,78z≥ -7600,

-0,14x₁ - 0,15X2+0,93х3 - 0,28z ≥ 11 900,      

X1≤66000,x2≤ 50000,x3≤76000, х₁x2,x3,z≥0

Решаем эту задачу в системе Matlab.

В результате решения получим оптимальное значение переменных

X*=[x1*=59990, x2*=50000, x3*=45567, z*=52066]

Составим двойственную задачу: minf(y)=-33200y1+7600у₂- 11 900у₃— 66 000у₄—50 000у₅- 76 000у_б-100 000у₇

-0,9y1+0,05y₂+0,14y₃ + y₄≥0,

0,27у1+0,84у₂+ 0,15у₃ + у₅≥0,

0,16у1+ 0,2у₂ - 0,93у₃ +у₆ ≥ 0,

0,72у₂+ 0,28у₃ + у₇≥ 1.

В результате решения получили: f(Y) = 52 066. У = {у1=0,1166, у₂= 1,2745, у₃=0,2941, у₄=0 у₅= 0,995,у₆=0₇=0,0}.

Пример 2.1 б. Построить модель экономики Приморского ' края за 2003 г. в виде оптимизационной задачи и решить ее.

Предположим, что конечный спрос представляет сумму отраслей:

z = y1+y₂ + y₃

В итоге задача примет следующий вид: (y1 + y₂ + у₃)  стремится к mах,

0,9х1 - 0,27x2 - 0,16Хз – у1 ≥0

-0,05х1 + 0,84x2 - 0,2Хз –y2≥0

-0,14х1 - 0,15Х2+ 0,93xз -yз≥0

Х1≤ 66 000, Х2 ≤50 000, х3≤ 76 ООО,  x1,x2,x3,y1,y2,y3≥0

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

Х* = {х1*=66000, x2*=50000, x3* = 76000, у1* = 33740, y2*=23500  у3*=53940}.

z = У1⁺У2+У3=111 180.

Сравнивая результаты решения примеров видим, что во втором случае загрузка отраслей значительно выше и это говорит о потенциальных возможностях оптимизационных методов.

Пример 2.1 в. Построить модель экономики Приморского края за 2003 г. в виде оптимизационной задачи и решить ее.

Рассмотрим теперь модификацию модели с критерием максимизации конечного потребления.

В данном случае меняются значения векторов α и Q. Вектор α теперь будет характеризовать структуру конечного потребления, а вектор Q - дополнительно включать валовое накопление.

Вектор α будет включать положительные компоненты α2= 0,6667, α3= 0,3333:

0                     y1+y2+y3=33200            66000

α= 0,6667       Q=      y2+y3=-2700        N=50000

0,3333                   y2+y3=16100            76000

Переходим к следующей задаче, соответствующей

z—» max.

0,9х1 - 0,27х2- 0,16х3≥ 33 200,           

-0,05х1+ 0,84х2- 0,2X3- 0,6667z ≥ -2700,      

-0,14х1 —0,15x2 + 0,93x3 —0,3333z≥ 16 100,

Х1≤66 000, х2≤ 50 000, х3≤ 76 000,   

X1,x₂,x3,z≥0.                                        

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

X* = {х1* = 61031, х2* = 50 ООО, х3*=51423, z* = 47 043}

Пример 2.2 Максимизация прироста внутреннего КС в заданном ассортименте: Построить модель Приморского края за 2003 г. в виде оптимизационной задачи с учетом заданных темпов роста и решить ее.

Дано. Межотраслевой баланс предприятия и все данные задачи взяты из примера I. Результаты решения считаем за текущий год. На планируемый период показатели развития отраслей увеличиваются на 10%: bu = [66 ООО, 50000,76000,100000]*1.1.

Требуется построить математическую модель максимизации внутреннего конечного спроса региона в виде оптимизационной задачи и решить ее.

Решение. В результате решения получим точку оптимума:

X* = {x1* =61952, х2*=55000, х3* =48166, z = 57 041},  и величину целевой функции fl = 57041.

Вектор конечного спроса: KonSpros_Y = [33 200 -41 069 -1,5971].

Прирост конечного спроса составляет: dY=Y/fl = 1,0956.

Пример 2.3. Построить модель экономики Приморского  края за 2003 г. в виде векторной задачи линейного программирования и решить ее.