Модель экономики Приморского за 2003 г. в виде оптимизационной задачи. Модификация модели с критерием максимизации конечного потребления, страница 2

В задачах векторной оптимизации имеется множество целей (критериев), по которым выполняется совместная оптимизация. В качестве алгоритма решения в работе [1] предложен метод аддитивного критерия, а в данной работе для решения векторной задачи математического программирования развивается метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата.

Критериями являются конечный спрос агрегированных отраслей, которые в совокупности представляют векторный критерий: Y = {y_j, j = 1, n}.

Ограничениями являются, во-первых, межотраслевой баланс, во-вторых, ресурсные ограничения и ограничения по производственным мощностям.

С учетом сказанного векторная задача, моделирующая развитие экономики региона на планируемый период примет вид:

opt Y ={шах y_j, j =1,n),                                  (1)

(I-A)X-Y≥О,                                                   (2)

RХ≤В,                                                             (3)

O≤X≤M,                                                          (4)

Y ≥0,                                                               (5)

где (1) представляет векторный критерий максимизации конечного спроса, (2) - межотраслевые балансовые ограничения, (3.6.3) - ограничения по ресурсам, (3) - ограничения по мощностям отраслей, (4) - неотрицательность конечного спроса отраслей.

Для Приморского края эта модель, предполагая, что общим ограниченным ресурсом является труд, примет вид:

opt Y = {max у₁, max у₂, шах у₃},              

0,9х1 - 0,27х₂-0,16х₃-у_1≥0,                          (6)

-0,05х1 + 0,84X2 - 0,2х₃ - у₂≥ 0,                  (7)

-0,14х1 -0,15X2 + 0,93Хз-у₃ ≥ 0,                 (8)

0,0032х1 + 0,0107x2 + 0,010Хз ≤ 1,4,        (9)

х1≤ 66 000, х2≤ 50 000, X3≤ 76 000,          (10)

х1, X2, Х3, y1,y_2,,y₃≥0.

Шаг 1. Решаем задачу (6)-( 10) по каждому критерию отдельно.

Результаты решения по первому критерию: f1* = 55874. Х1* = {х1*= 66000, х2*= 6546, Хз* =10991,У1* =55874, У2*=0,0, Уз =0,0}.

Результаты решения по второму критерию: f₂* = 39034.

x2*={x1*=16686, х2* = 5,0000, х3*=1,0606, У1*=0 У2* =3,9034, y3 =0,0}.

       результаты решения по третьему критерию: f 3* = 65094.

_Х3*={x1*= 19284, х2* =19243, х3*= 7,6000, У1=0 У2 =0,0,  Уз =6,5094}.

Шаг 2. Строится α-задача. (Заметим, f* = 0). Max α

α-y2/f1*≤0                                                   (11)

α-y2/f2*≤0                                            (12)

α-y2/f3*≤0                                                    (13)

0,9х1 – 0,27x2-0,16Хз-у1≥ 0,                                                (14)

-0,05х1 +0,84x2+0,2Хз-у2≥ 0                       (15)

-0,14х1 – 0,15x2+0,93Хз-у3≥ 0                     (16)

0,0032х1 +0,0107x2+0,010Хз≤1,4                (17)

Х1≤ 66 ООО, X2≤ 50 ООО, Хз≤76 ООО,  (18)

Х1, Х2, Х3, y_1sy₂,y₃≥ 0.                                (19)

Шаг 3. Решается α-задача  (14-19)

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

Х° ={х1° =36098, х2⁰ =26777, х3° =34483, у1° =19741, у2⁰ =13791, у3⁰ =22999), α⁰ = 0,3533.   

α₁(X°) = f₁(X°)/f₁* =19741/55874 = 0,3533,

α₂(X°)=f₂(X°)/f*₂ = 13 791/39034 = 0,3533,

α3(Х°) = f₃(Х°) /f3* = 22999/65094 = 0,3533.

Таким образом, все критерии (отрасли - конечный спрос) подняты до максимально возможного уровня. Любое улучшение одного из критериев приводит к ухудшению других Критериев (отрасли), т.е. решение оптимально по Парето.

Пример 0

F=[0.0 0.0 0.0 -1.0]

A=[-0.95 0.25 0.1 0.0; 0.2 -0.85 0.2 0.72; 0.25 0.2 -0.95 0.28]

b=[-3.5 3.5 0.5]

Aeq=[]

Beq=[]

bl=[0.0 0.0 0.0 0.0]

bu=[22 60 40 100]

[x1,f1]=linprog(F,A,b,Aeq,Beq,bl,bu)

disp("DvoystvenayZadacha")

lengthX=length(X)

y0=zeros(3,1)

OPTIONS=optimset('Display','final','GradObj','on');//,...'TolFun',20,'TolPCG',20,'TolX',20)//, 'TypicalX','on')

bl=[0.0 0.0 0.0]

A=[-0.95 0.2 0.25 1. 0. 0. 0.;