Градиент скалярного поля. Частные дифференциалы. Геометрический смысл. Двойной интеграл. Основные понятия и определения, страница 4

28 вопрос: Диффер Ур., допускающие понижения порядка вида решается последовательным интегрированием. Умножая обе части на dx и интегрируя, получаем уравнение (n-1)-го порядка:. Снова умножая обе части на dx и интегрируя, получаем уравнение (n-2)-го порядка:и т.д. После n-кратного интегрирования получаем общий интеграл y этого уравнения в виде явной ф. от x и n произвольной постоянных:.

29 вопрос: Диффер Ур., допускающие понижения порядка вида

(не содержит явно y) решаем с помощью замены переменной  подставляем в Ур-ие- Ур-ие 1ого порядка в завис от вида Ур-ия находим его общие решение. вернемся к , общие решение исходного Ур-ия.

30 вопрос: Диффер Ур., допускающие понижения порядка вида

(не явно заданна x)решаем с помощью замены переменной =

 подставляем в Ур-ие:- Ур-ие 1ого порядка в зависимости от его вида решаем и получаем общий интеграл (или) т.к. , то получили - ур-ие 1ого порядка. После его решения получили общий интеграл ур-ие: .

31 вопрос: Диффер Линейные Ур-ия высших порядков. Линейным Дифф n-ого порядка, на-ся Ур-ие, содержащие  и линейное относительно них, т.е. , где b₀(x),b₁(x),..b(x),f(x):(b₀(x)0)- коэффициенты непрерывности ф. или константы.; разделим уравнение на b₀(x) и обозначим тогда Ур-ие запишется в приведенном виде:●Если q(x)=0, то Ур-ие , то Ур-ия на-ся линейным однородным n порядка; ●Если q(x) 0, то ур. , на-ся линейным не однородным ур-ем 1ого порядка.

32 вопрос: Линейных однородных дифференциальных ур-ий 2ого порядка. Вид общего решения. р/м Линейных однородных дифференциальных ур-ий 2ого порядка:(1)

Теорема№1. Если y=y1(x),y=y2(x)-решение ур. (1), то ф.- также решение ур-ия  (1) Следствие№1. Если y=y1(x)-реш (1),то - реш (1), Следствие№2. Если , то y=y1(x),y=y2(x)-линейно. Не зависим.; Если , то y=y1(x),y=y2(x)-линейно не зависимы. Средством изучение завис и независ ф. при решении Дифф. Ур-ия служит определитель Вронского.(Вронскиан):.

Теорема№2. Если y=y1(x),y=y2(x)-линейно завис. Ф., то W=0 Теорема№3. Если при x=x0,  W0, то не равен нулю в любой (.)Ки этого отрезка (т.е. для любо , W0), где y1,y2 реш. (1). Следствие№3. Если в любой (.)ке  W=0, то он равен 0 в любой (.)ке отрезка, (т.е. W(x)=0 любой), где y=y1,y=y2- реш. (1). Теорема№4. Если ф. y1(x),y2(x)-линейно не завис на , то W0. Теорема№5(о структуре общего решения линейного однородного Дифф ур-ия 2ого порядка) Пусть y=y1(x),y=y2(x)-линейно не зависимые решения ур-ия . (1)., тогда - общ. решение ур-ия (1). (Замечание: не существует общих методов решения ур-ия с переменными коэффиц-ми.)

33 вопрос: Интегрирование линейных однородных дифференциальных ур-ий 2ого порядка. р/м линейных однородных дифференциальных ур-ий 2ого порядка

Будем искать решение этого Ур-ия в виде:. Подставим в ур-ие

т.к. , то - характеристическое ур-ие. В зависимости от его корней общее решение исходного ур-ия имеет различный вид:1) имеет действ. Различные корни, то ;2)имеет действительные равны корни, то

3)имеет комплексные корни k

34 вопрос: Интегрирование линейных однородных дифференциальных ур-ий n-ого порядка c постоянными коэфф-ми. р./м линейных однородных дифференциальных ур-ий n-ого порядка c постоянными коэфф-ми.

-линейн. Не зав. частные реш ур-ия, по теореме№5 можно записать, что общее решении  имеет вид:

. В зависимости от корней хар. Ур-ия

1) Каждому простому действ. Корню неповторяющему соответствует ,

; 2)если хар. Ур-ие имеет m одинаковых дейст-x корней (корень кратности m), то ,, ,;

3)Каждой паре комплексно-сопряжённых корней

соответствует; 4)если хар. Ур-ие кратные комплексно сопряжённых числа  и т.д.), то

35 вопрос: Линейное неоднородное Диффер ур-ие 2ого порядка. р/м

Теорема№1 ( о структуре лин неодн ур 2ого поряд). Если - общее реш од д ур. ;- частное решение неоднородного Диффер ур-ия , то общие решение неоднородного Диффер ур-ия имеет вид: y=+. Теорема2. Если - о.р.н.д.ур. ,

- о.р.н.д.ур. , то y=+- о.р.н.д.ур. . Замечание. Если правая часть представляет сумму  ф., то необходимо найти общие решение для ур-ий с каждой ф., а результаты сложить.

36 вопрос: Решение не однородного линейного Диффер. 2ого порядка с правой частью специального вида.1.

1. , тогда, где Qn(x)-многочлен степени n, r=кратности числа α корням характеристического уравнения

●r=0, если α корням характеристического ур-ия

● r==1, если α=k1, αk2

● r=2, если α= k1= k2. Замечание:

Если правая часть ур-ия имеет вид, тогда: 1)если число  не явл. Корнем характеристического ур-ия (k1,2), то , где M(x), N(x)-многочлены степени наивысшей мн-н.

2) если  явл корнями хар. Ур (=k1,2), то . Частный случай

(●r=0, если k1,2, ●r=0, если =k1,2)