Градиент скалярного поля. Частные дифференциалы. Геометрический смысл. Двойной интеграл. Основные понятия и определения, страница 2

Р/м  т.к. y=const, то - ф-ия 1ой переменной, для которой спр-во необходимое условие экстремума, т.е. или не существует. Ч.т.д.;(.)Ки в которых частные производные обращаются в 0 или не сущ., на-ся критическими, это внутренние (.)Ки области определения .Это условие не явл-ся достаточным определения экстремума. Теорема№2 («Достаточное условие функции 2ых переменных» )Пусть (.)М₀(x₀,y₀) такая , что в её окрестности функции. f(x,y)=z непрерывна вместе  с частными производными 1го порядка и или не сущ; , не сущ., тогда если

; и 1)AC-B²>0,A>0,то М₀-(.)кА min;2) AC-B²>0,A<0,то М₀-(.)кА max; 3) AC-B²<0, то в М₀- нет экстремума (минимакс); 4) AC-B²=0, не известно, есть или нет.

12 вопрос: Нахождение наибольшего и наименьшего значения ф. в замкнутой области: 1. Построить область Д; 2. Найти критические (.)Ки, в которых если нет (.)ек, то концах смотрим значение; 3. Найти знач в кр т, на границах области; 4. Выбрать получ значен наиб и наим; 5. Ответ:zнаиб(;)=:zнаим(;)=

14 вопрос: Метод наименьших квадратов: Это метод предназначен для сглаживания экспериментальных результатов. Пусть в процессе получили набор значений (x₁,y₁), (x₂,y₂)…(x_n,y_n). Запишем в таблицу и отметим. Метод н.кв.состоит в том, чтобы при определении сглаживающий ф. сделать сумму квадратов погрешности наименьшая.- погрешность; Определим: как находить параметры сглаживающий ф, если она линейная: Пусть y=a*x+bСоставим ф. Найдем локальный min этой ф.; неизвестные a,b: нормальная система. Из этой системы находим неизвес a,b и подставляем в ф.y=ax+b.

15 вопрос: Двойной интеграл. Основные понятия и определения. При n =1при n=2Область Д разобьем на n частей  произвольным образом. Получили n элементарных площадок Si(i=1,..,n).Внутри каждой элементарной площадки выберем (.)ку Mi, найдем значение ф. z=f(x,y) в Mi f(Mi). Si даёт V цил.тела с основанием Si, с высотой f(Mi). Составим интегральную сумму, тогда если, то этот lim на-ют двойным интегралом ф. z=f(x,y) по области Д. Этот lim не зависит ни от способа разбиение обл. Д на элем площадки(.)Mi. Теорема(«Необходимое условие интегрируемости ф. двух переменных»Если . z=f(x,y) непрерывна в области Д, то (сущ.) , а значит и двойной интеграл от f(x,y) по Д. Итак по определению

16 вопрос: Свойство двойного интеграла:1.двойной интеграл от суммы 2ых интегралов от этих ф.

2)постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3)Если обл. Д разбита на сумму 2ых областей, то двойной интеграл по обл Д равен сумме двойных интегралов по обл Д1 и Д2док-во:т.к. lim интегральной суммы не зависит от способа разбиения обл Д, то будем разбивать её на элементарные площадки, не пересекая границы обл. Д1, Д2; тогда

17 вопрос: Вычисление 2ого интеграла в декартовы координатах.т.к. lim не зависит от способа разбиения области Д на элементарной площадки, то будем её разбивать прямыми параллельными осями Ox,Oy:

dS=dx*dy-элементарная площадка. В декатовых координатах

Если ф.z=f(x,y) непрерывна  в области Д, то вычисление интеграла двойного сводится к выч. Двух кратного интеграла в случае правильности области Д. Д – правильной от Oy(в направлении Oy) , если она ограниченна прямыми y=y1(x),y=y2(x),т.е. имеет вид:

Д правильная оси Ox(в напр. Ox)y=c,y=d,x=x1(y),x=x2(y)

Область, правильная отн Ox и Oy, на-ся правильной. Если Д- прав.отн Oy,то интеграл - внутренний интегралом.- внешним. Внутрен. Берётся по переменной y в предположим, что x-const.Если Д правильная отн. Ox, то

интеграл: - внутренним берётся в предположении, что y=const.Замечание№1. Внешний интеграл всегда имеет постоянные пределы интегрирования. Замечание№2 Если область не явл. Правильной относительно Ox ,Oy, то надо её разбить на правильные подобласти и использовать св-ва 3.Применение двойного интеграла к вычислению объемов и площадей в декартовых координатах.

18 вопрос: Двойной интеграл в полярных координатах: В общем случае, если в полярной системе координаты обл. Д, ограниченна кривыми ,, лучами φ=α, φ=β, то она правильная:

Если Д неправильная необходимо её разбить на правильные подобласти. Очень часто, когда обл.Д явл. Кругом, частью круга, кольцом трудно вычислить двойной интеграл в декартовых координатах. Требуется перейти в такую систему координат, чтобы интеграл вычислялся произв-полярной системой координат. Формулы перехода из декартовой в полярную:Выведем формулы перехода к полярным координатам в двойном интеграле; Теорема. Если z=f(x,y) непрерывная. Обл. Д, x=x(u,v),y=y(u,v)-ф-ции переем u,v(криволинейных координат), то