,где J-якобиан
применим эту теорему к полярной
системе координат
u→ρ,v→φ,J-?
21
вопрос: Основные определения дифференциального уравнения. Дифференциальное
Ур-ие – это Ур-ие, связывающие переменную, ф. и её производные. Если ф., входящая
в дифференц. Ур-ие одной переменной, то оно наз-ся обыкновенным, если 2ых и
более переменных, то оно на-ся – Ур-ие в частных производных. Общий вид д.у.
n-порядок Ур-ия; Если уравнение разрешается относительно
n-ой производной, то Решить диффер
Ур, значит найти такую ф.y(x), n-ая при подстановки в диффер Ур-ия обращает его
в верное рав-во.
Дифференциальные уравнения: (1.)1.1уравн
Еия с разделяющими
переменными; 1.2. однородные; 1.3. линейные, Бернулли;1.4.уравнения в полных
дифференциалах; (2)2.1. Ур-ия, допускающие понижения порядка;2.2.ур-ия с
постоянными коэффициентами и нулевой правой частью;2.3. Ур-ия с пост коэфф и
правой частью спец и произвольного вида. Диффер Ур-ие 1 порядка F(x,y,z)=0:Если
его можно разрешить относительно , то (1)
-
разрешённое относительно производной. Геометрически это уравнение
представляет поле направлений.
Теорема(«Существование и единственности решения диффр Ур-ия 1ого порядка»)Если
f(x,y) непрерывна вместе с
в Д, содерж(.)(x0,y0), то
существует единственное решение д.у.
,
удовлетворяющее нач. условиям y(x0)=y0(решение соотв. Задачи Коши без док-ва)
22 вопрос: уравненияс разделяющимипеременными
имеют вид:
(т.к.
=
, то это Ур-ие можно записать
).
Чтобы решить это
Ур-ие, надо его почленно проинтегрировать, т.е.общее
Ур-ие или общий интеграл Ур-ия. Ур-ие с разделяющими переменным делением на N1(y),M2(x):
23 вопрос: Однородные Диффер Ур-ия 1 порядка. ф. z=f(x,y), на-ся
однородной n-го порядка, если f(x,y). Дифф.
Ур. Вида
, назыв. Однородным, если f(x,y)- однор
ф. n-ого порядка. Диффер. Ур. Вида
явл.
Однородным. Решение однородного Ур-ия с помощью замены переменной.
;
Замена переменной y=u*x
ч
Ур-ия с разделяющими переменными
Ур-ие
с разделяющими переменными;
общий интеграл Ур-ия
. Чтобы получить общий интеграл
надо в полученный интеграл
подставить
.
24 вопрос: Линейные Диффер. Ур-ия 1 ого порядка. Л.д.у.
1ого порядка на-ся урав линейное, относительно ф. и её производной, т.е. Ур.
Вида:существует два метода решения
линейного Ур. 1-ого порядка.1. Метод Бернулли;2. Метод вариации произвольной
постоянной; Уравнение Бернулли. Определение: Д.У. вида
называется обобщённым линейным
дифференциальным уравнением 1-ого порядка или уравнением Бернулли.
25 вопрос: У-ие Бернулли можно свести к линейному Ур-ию с
помощью введения новой ф. . Покажем это.
Разделим обе части Ур-ия Бернулли на
;
, Пусть
.
Найдем
, откуда
.Подставляя
и
в
Ур-ие , получим:
. Умножив обе части Ур-ия
на (1-n), получаем Ур-ие:
,
линейное, относительно z и
. Это уравнение
решаем с помощью подстановки Бернулли методом вариации произвольной постоянной
как это было показано выше. Ур-ие Бернулли можно решать, как линейное, с
помощью подстановки Бернулли
. Метод
вариации заключается в том, что сначала находят решение однородного Ур-ия
, затем произвольную постоянную с
находят как функцию аргумента y, т.е. c=c(y).
26 вопрос: Дифференциальные Ур-ия в полных дифференциалах
Определение вида: ,на-ся Диффер Ур-ем в
полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом
некоторой ф.f(x,y). Другими словами Ур-ие (19) в полных дифферен
можно записать в виде:
. Теорема. Для того чтобы
выражение
, где ф. P(x;y);Q(x;y) и их
частные производные
непрерывны в некоторой
области Д плоскости XOY, было полным дифференциалом некоторой ф.,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
27 вопрос: Дифференциальные Ур-ия высших порядков. Дифф n-ого
порядка имеет вид: Если можно выразить
, то Ур-ие
(1) разрешенным
отн-но n-ый производной. Решением Ур-ия (1), на-ся ф.y=φ(x), ко-ая
при подстановке в Ур-ие обращает его в тождество. Общим решением Ур-ия (1)
,на-ся ф.
, где
,
что : 1)
явл. Реш. (1); 2)(сущ.)
,
,
что ф.
удовл. Начал. Условиям : y(x0)=y0;
;
ф.
, на-ся частным решением Ур-ем (1).
Задачей Коши: Дифф Ур. N-ого порядка, на-ся задача о решение Ур.(1) с
начальными условиями:
Теорема (сущ. И ед
задачи Коши Ур.) Пусть непрерывна
вместе с частными производными
в некоторой
области Д содержащей (.)ку
, тогда в этой
области
!решение задачи Коши Ур(1). Если
при решении Дифф. (1) не возможно получить выражение
, то получают:
- общий интеграл Ур.(1) или
- частный интеграл Ур(1).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.