Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Решение СЛАУ. Метод релаксации. Метод Гаусса

В матричном виде систему можно записать:               Ba = C.                                                                       (1)

B – матрица системы, a – искомый вектор, с – вектор правой части. Решение СЛАУ найдем с помощью точного метода Гаусса, а также с помощью итерационного метода релаксации.

2.  МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ

ШАГ 1. Запишем систему (1) в виде  a = a ‑ t ( B a – c),  t > 0 ‑ параметр, значение которого подбирается таким образом, чтобы построенный итерационный метод сходился.

ШАГ 2. Зададим точность метода e>0, параметр релаксации t > 0,  введем вектор начального приближения к решению a0. Вектор может быть произвольным, например, нулевым:.a0 = (0, 0, ..., 0).

ШАГ 3. Следующее приближение ‑ вектор a1находится следующим образом: a1 = a0 ‑ t ( B a0 – c), или, в скалярном виде:  

ШАГ 4. Вычислим вектор невязки: r = a1 – a0  и его норму: ║ r ║ =  max ( r _i )..

ШАГ 5. Приготовимся к следующей итерации. Занесем компоненты вектора a1в вектор a0, т.е. a0_i:=a1_i. I=1,2..m.

ШАГИ 3-5 образуют итерационный цикл. Будем повторять их до тех пор, пока не выполнится  условие ║ r║ < e.

3. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1.  Открыть файл MNK.xls в папке своей группы, найти рабочий лист с номером своего варианта. Используя функцию суммирования Excel, вычислить коэффициенты матрицы B и вектора правых частей c.

2.  Используя встроенные функции Excel (см рабочие листы Пример 3, Пример 4, Пример 5  в файле MNK.xls), решить СЛАУ методом обратной матрицы и методом Крамера. Выписать искомый полином, построить его график и нанести заданные точки.

3.  Запустить тестовый вариант программы метода Гаусса (программа gauss_t.pas). Должны получиться следующие результаты: 2.2133, 0.0781, -3.6163, 2.4822.

4.  Изменить исходные данные программы метода Гаусса (матрицу B и вектор с) и найти решение (коэффициенты полинома) для своего варианта. На печать вывести коэффициенты полинома и значение функционала отклонений G для найденных значений коэффициентов. Показать, что для любого другого вектора, произвольно введенного с клавиатуры, получится большее значение функционала отклонений G.

5.  Написать программу решения системы (1) с помощью метода релаксации для e=10^-3. Для подбора значения параметра t,  обеспечивающего сходимость итерационного процесса, на каждой итерации выводить на экран промежуточные результаты – вектор a1и норму вектора невязки ║ r ║. В случае, если невязка растет, остановить выполнение программы (<ctrl>+<C>), заново запустить ее и задать меньшее значение t. Результаты занести в Таблицу 1:

6.  После выбора значения t, обеспечивающего сходимость итерационного процесса, убрать промежуточную печать и добавить в программу счетчик количества итераций. Для e=10^-3 подобрать оптимальное значение параметра, т.е. такое значение, при котором метод сходится с наименьшим количеством итераций. Результаты занести в Таблицу 2:

7.  Для оптимальногозначения параметра t  просчитать варианты с изменением точности e=10^-2, 10^-3, 10^-4. Сравнить полученные результаты a₁, a₂, a₃, a₄ с результатами