Интерполяция. Решение задачи интерполяции. Вычисление посредством полинома Лагранжа. Локальная и глобальная интерполяция

Лабораторная работа 3.

Часть 1.

Интерполяция.

Выполнил: студент 328гр.

Постановка задачи интерполяции

На интервале [a,b] задана система точек (узлы интерполяции) Xi, ;  и значения неизвестной функции в этих узлах  . Могут быть поставлены следующие задачи:

1) Построить функцию F(x), принимающую в узлах интерполяциизаданные значения :  (условия интерполяции)

2) Для заданного значения  найти F(z).

Решение задачи интерполяции

Задача имеет много решений: через заданные точки  можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Локальная интерполяция: на каждом интервале  строится своя функция. Глобальная интерполяция: одна функция для всего интервала [a,b]. Пример локальной интерполяции: Кусочно-линейная. На каждом интервале функция является линейной ; значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка:  Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Откуда следует, что  если  Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции.

Пример глобальной интерполяции: полином Лагранжа  где

Формулировка задания

1. Задана исходная функция g(x) и интервал [a,b]. Построить узлы интерполяции  и вычислить в этих узлах значения  Таким образом, получены исходные данные для задачи интерполяции. Построить график функции на заданном отрезке.

2.Вычислить значение F(z) в некоторой произвольной точке  не совпадающей ни с одним из узлов с помощью кусочно-линейной интерполяции. Найти погрешность метода при N=10 и N=20.

3. Вычислить значение F(z) с помощью полинома Лагранжа  где z-произвольная точка из отрезка  не совпадающей ни с одним из узлов. Найти погрешность метода при N=10 и N=20.

Результаты расчетов.

1.

2.