Принятие решений при нечетком отношении предпочтения на множестве альтернатив. Нечеткие множества, нечеткие отношения и их свойства

Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств

Пусть имеется множество альтернатив и множество критериев , при этом оценки альтернатив по каждому -му критерию представлены нечеткими множествами, которые будем записывать в виде .

Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям: . Функция принадлежности нечеткого множества  имеет вид . Лучшей считается альтернатива , имеющая наибольшее значение функции принадлежности . Если критерии  имеет различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение: , где - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям: . Коэффициенты относительной важности  можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.

Пример.  Цель решаемой задачи – выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом. Было выбрано три банка: альтернативы  . Определено шесть критериев выбора:  - процентная ставка;  - расположение банка; - активы банка; - политика банка;  - ликвидность банка;  - репутация банка (оценивается по экспертной пятибалльной шкале). Значения критериев для всех альтернатив определены ниже.

Все критерии представлены следующими нечеткими множествами:

;

;

;

;

;

.

Критерии имеют различную значимость при определении наиболее рационального варианта. В связи с этим необходимо определить весовые коэффициенты  критериев.

Один из возможных способов получения значений весовых коэффициентов заключается в построении матрицы попарных сравнений критериев. Для критериев, использованных при решении задачи выбора лучшего банка, составлена следующая матрица попарных сравнений критериев.

Коэффициенты относительной важности критериев  и = приведены ниже.

Множество оптимальных альтернатив  с учетом различной важности критериев качества определяется путем пересечения нечетких множеств следующим образом: , а . Найдем множество оптимальных альтернатив с учетом полученных весовых коэффициентов: . Таким образом, лучшей альтернативой является банк , на втором месте банк , самым худшим вариантом для вклада денег является банк.

§4.4. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предлагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения. Пусть задано множество альтернатив   и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества  представлена в форме отношения предпочтения  . Таким образом, имеется  отношений предпочтения   на .  Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько этапов.

1. Строится нечеткое отношение , которое является пересечением исходных отношений предпочтения: . Определяется нечеткое множество недоминируемых альтернатив в множестве   .

2. Строится нечеткое отношение  :  . Числа  в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:  Данные числа получаются либо путем попарных сравнений, либо путем экспертного назначения весов. Определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве  .

3. Отыскивается пересечение нечетких множеств   и : .

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества . Наиболее рациональной альтернативой из множества   является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

Пример. Анализ и оценка инвестиционных проектов – одна из самых сложных задач в сфере экономики, производства и управления.  Инвестор должен осуществить выбор одного из трех проектов: - проект завода по производству обезвреживания и переработки отходов:   - проект завода по производству аэрозольных огнетушителей третьего поколения;  - проект создания инвестиционно-финансовой компании. Главной целью лица принимающего решение является выбор рационального