Осциллятор с сильной диссипацией. Быстрые и медленные движения

Лекция 10

Осциллятор с сильной диссипацией.

Быстрые и медленные движения

В предыдущей лекции мы сосредоточили свое внимание на системах близких к линейным консервативным. Это позволило представить решение в виде квазигармонических колебаний с медленно меняющимися амплитудой и фазой. Теперь затронем еще один важный класс задач: сильно нелинейные колебания в сильно неконсервативных системах, для которых можно выделить временные интервалы с качественно различным характером изменения переменных — участки быстрых и медленных движений. Типичный пример представляют подобные релаксационные автоколебания (см. рис. 1.1). Более подробно они будут рассмотрены в лекции 11. Здесь же мы продемонстрируем метод приближенного анализа, основанного на разделении быстрых и медленных движений, для осциллятора Дуффинга с сильной диссипацией

x+2γx +x+βx³ =0,                                       (10.1) где γ — большой параметр. Для определенности будем считать β > 0 (осциллятор с «жесткой» пружиной, см. лекцию 8).

Введем новое время τ = t2γ . Уравнение (10.1) примет вид

εx′′+ x′+ x +βx³ = 0,                                       (10.2)

где ε =14γ ² <<1 — малый параметр, штрихи обозначают дифференцирование по τ. Таким образом, мы получили уравнение, содержащее малый параметр при старшей производной. Именно такие системы удобно анализировать при помощи метода разделения быстрых и медленных движений.

Задача 10.1. Для линейного колебательного контура, состоящего из последовательно соединенных индуктивности L, емкости C и сопротивления R, получите условие сильной диссипации в явной форме.

Фазовая плоскость осциллятора с сильной диссипацией

Перепишем уравнение (10.2) в виде системы двух уравнений первого порядка

Из уравнения (10.4) видно, что y′ = f (x y, )ε >>1 везде, за исключением области, где функция