Нелинейный осциллятор как обобщенная модель теории колебаний

 Часть II

Нелинейный осциллятор

Лекция 4

Нелинейный осциллятор как обобщенная модель  теории колебаний

Настоящая лекция начинает большой раздел нашего курса, посвященный изучению одного из важнейших объектов теории колебаний — нелинейного осциллятора. Это система, динамика которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка, в консервативном случае x + f x( ) = 0, а в диссипативном x + γ +x f x( ) = 0. Здесь x – динамическая переменная, о которой говорят как об обобщенной координате, f (x) — некоторая нелинейная функция, γ — параметр диссипации. Эти уравнения выступают как естественное обобщение консервативного гармонического осциллятора и диссипативного линейного осциллятора.

На нелинейный осциллятор следует смотреть как на обобщенную модель, пригодную для описания колебательных явлений в системах разной физической природы (в смысле «колебательной общности» по Мандельштаму). Интерпретация смысла динамической переменной x и физического содержания колебательного процесса будет зависеть от того, какая конкретно система рассматривается. Соответствующие примеры будут обсуждаться по ходу дальнейшего изложения. 

Механический осциллятор: частица в потенциальной яме

Пусть мы имеем частицу массы m , которая может свободно двигаться вдоль оси x , причем трение отсутствует. Пусть на частицу действует сила, направленная вдоль оси x , и величина этой силы в каждый момент зависит от координаты частицы в этот мо-

Как известно, функцию одной переменной всегда можно представить в виде производной от некоторой другой функции. Введем определение

x

Выясним физический смысл функции V(x). Для этого умножим обе части уравнения (4.4) на x . Перенеся оба члена в левую часть, получим mxx + xV′( )x = 0, что можно переписать как

 d  mx2 +V x( ) = 0. (4.5) dt  2           

Поскольку производная по времени от выражения, стоящего в скобках, равна нулю, то оно должно в процессе динамики системы оставаться постоянным:

                                                           ^mx2 +V x( ) = const .                                         (4.6)

2

Ясно, что это соотношение представляет собой не что иное, как запись закона сохранения механической энергии. Первый член отвечает кинетической энергии частицы, а второй — потенциальной энергии в поле внешней силы. Соответственно, функцию V(x) называют потенциальной функцией. Согласно принятой в математике и механике терминологии, соотношение (4.6) называют первым интегралом дифференциального уравнения (4.4).

Если потенциальная функция имеет минимум, или, как выражаются на общепринятом научном жаргоне, присутствует потенциальная яма, то вблизи дна этой ямы система может совершать колебания. Пусть потенциальная функция гладкая, и минимум расположен в точке x = x₀ . Тогда разложение в ряд Тейлора вблизи этой точки будет иметь вид

V x( ) =V x( ₀ )+ V′′(x₀ )(x − x₀)² +…, (4.7) где многоточием обозначены члены более высокого порядка малости. Если ограничиться учетом квадратичного члена, то подстановка выражения (4.7) в (4.4) приводит к уравнению mx = −V′′(x₀ )(x − x₀) или 

            x +ω₀²x = 0 .   (4.8) Это уравнение линейного гармонического осциллятора. Величина x = x − x₀ отвечает отклонению от точки минимума потенциальной ямы, а ω =₀ V′′(x₀) m характеризует собственную частоту малых колебаний.

В задаче с одной пространственной координатой при любом заданном законе распределения силы можно ввести потенциальную функцию. В случае двух и более пространственных измерений это уже не так – далеко не всякое поле сил будет потенциальным. 

Задача 4.1. Найдите период возможных малых колебаний материальной точки массы m , движущейся вдоль оси x, если зависимость потенциальной энергии от координаты дается следующими формулами: а) U x( ) =U0  _{ }x ³ −3 _{ }x  ;

                                      l    l 

б) U x( ) = 4a_{ } b ¹² −_{ } b ⁶ .

                                     x   x 

Задача 4.2. Из жести изготовлена пластинка, имеющая вертикальный профиль в виде синусоиды. В одной из образовавшихся «ямок» колеблется шарик массы