Математическая модель упругопластической деформации конечных элементов

Математическая модель упругопластической деформации КЭ

Считается экспериментально доказанным факт, что уширение стружки при прямоугольном резании мало (т. е. деформация стремится к нулю). Основываясь на этом факте принята гипотеза о плоской деформации, т. е.

, , , .             ( 4.8)

Кроме этого примем следующие допущения:

– рассматривается первый этап внедрения инструмента в заготовку и изучается образование следующего элемента стружки в предположении, что силы остаются постоянными в пределах деформирования; геометрия срезаемого слоя определяется по данным эксперимента и расчетным формулам, при веденным ниже.

–  материал заготовки описывается упругопластической моделью с линейным упрочнением (см. раздел 3); его реологическая модель задается соотношением:

,                                                   ( 4.9)

где  - приведенный модуль упрочнения и  определяются экспериментально;

–  материал заготовки однороден и изотропен, отсутствуют дефекты и случайные отклонения свойств;

–  процесс резания считается адиабатическим;

–  предполагается, что отсутствует наростообразование;

–  в первом приближении принято, что трение подчиняется закону Кулона-Амонтона (3.28), при чем коэффициенты трения на передней и задней поверхностях считаются различными и определяются из эксперимента для данной пары обрабатываемый - инструментальный материал (см. раздел 5).

Уравнение равновесия (3.55) для упруго-пластического материала с линейным упрочнением в Лагранжиевой формулировке может быть представлено в виде [85]:

,                                    ( 4.10)

где  - матрица жесткости;  - матрица дифференцирования перемещений;  - матрица материала;  [DV1] - т.н. инкрементальная геометрическая матрица жесткости;  - вектор вариаций инкрементальных перемещений;  - вектор несбалансированных сил;  - вектор внешних узловых сил.

Матрица дифференцирования в полярных координатах может быть записана в виде:

,                                    ( 4.11)

где  - блок, соответствующий узлу i.

Производные функции формы по глобальным координатам можно получить, используя матрицу Якоби:

,

где  - матрица Якоби, компоненты которой могут быть определены посредством дифференцирования выражения (4.3).

Предположим, что изменение деформации при бесконечно малом приращении напряжения может быть представлено в виде суммы упругой и пластической частей (см. 3.48) и в случае КЭ формулировки записано в виде:

,                                           ( 4.12)

где  - вектор деформаций в общем случае плоской деформации

Из теории упругости хорошо известно, что упругие приращения деформации связаны с приращениями напряжения симметричной матрицей . Учитывая ассоциированный закон пластичности (3.51) выражение (4.12) можно записать:

.                                   ( 4.13)

Выполняя некоторые преобразования [82] получаем выражение,. в явном виде определяющее изменение напряжений через изменение деформаций:

,                                               ( 4.14)

где

,          ( 4.15)

где  - матрица упругости ;

.

Принимаем в рассматриваемой модели частный случай поверхности текучести Мизеса в виде [79]:

          ( 4.16)

В этом случае с учетом принятой реологической модели (4.9) обрабатываемого материала параметр  в выражении (4.15) равен модулю упрочнения . В этом случае модуль упрочнения определяется экспериментально из опыта на одноосное растяжение.

Вектор внешних узловых сил может быть определен по формуле:

,                                          ( 4.17)

где  - вектор внешних сосредоточенных сил;  - вектор приведенных к узлам объемных сил;  - вектор приведенных к узлам поверхностных сил;  - фиктивная узловая температурная нагрузка, определяемая из расчета температурных полей (раздел 4.2.2).

Таким образом, имея матрицы жесткости и вектора нагрузок для каждого КЭ составляет суммарную матрицу жесткости с учетом граничных условий (см. раздел 3). Граничные условия приняты в виде жесткого защемления заготовки по границе ABCD[DV2] . Влияние такого рода граничных условий на НДС в зоне стружкообразования незначительно, поскольку исследуемая область значительно больше этой зоны. Инструмент имеет жесткую границу 123[DV3]  и его вращение вокруг оси  ограничено. На границе контакта инструмента с заготовкой и стружкой введены т.н. контактные элементы с заданным коэффициентом трения., определяемым экспериментально по методике, изложенной в разделе 5. Условие наличия контакта между «ведущим» и «ведомым» элементами можно записать в виде:

,

где  - нормальная нагрузка в контакте со стороны «ведомой» поверхности;  - нормаль к «ведущей» поверхности.

Нагрузка в данной модели прикладывалась в виде приведенных компонент силы резания к жесткой границе 1-2 инструмента. Составляющие  и  рассчитывались по формуле (5.1) и компонента P_x принимается равной 0.

В виду того, что на участках проскальзывания резания не происходит, то результаты расчета на этих участках по приведенной методике не имеют физического смысла (см. раздел 2).