Дифференциальное исчисление в пакете MathCad. Определение и понятие производной. Встроенные функции решения краевых задач, заданных в форме Коши

Лабораторная работа № 6. Дифференциальное исчисление в пакете MathCad.

цель работы: освоение основных приемов вычисление производных высших порядков в пакете MathCad (4 часа)

Содержание

1. Определение и понятие производной

2. Средства дифференцирования в MathCad

2.1 Примеры нахождения производных

3. Нахождение производной в общем виде

4. Физический смысл производной

4.1 Пример применения физического смысла производной

5. Геометрический смысл производной

5.1 Пример нахождения уравнения касательной функции в некоторой точке

6. Приложения производной

6.1. Экстремумы функции

6.2. Разложение функции в ряд Тейлора.

7. Встроенные функции решения краевых задач, заданных в форме Коши

7.2 Функция Odesolve()

7.2 Функция Rkfixed()

Порядок выполнения работы

Задание 1. Построение касательной к функции в точке

Задание 2. Физический смысл производной.

Задание 3. Определение экстремумов функции

Задание 4. Разложение функции в ряд Тейлора

Задание 5. Решение задачи Коши

Контрольные вопросы

1. Определение и понятие производной

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю т.е.

2. Средства дифференцирования в MathCad

Оператор производной предназначен для нахождения значения производной функции в заданной точке.

Вызвать оператор производной можно следующими способами:

Для нахождения производной нужно:

1.  1.  Определить точку (или диапазон), в которой будет найдена производная;

2.  2.  Вызвать оператор нахождения производной:

v v  появится шаблон нахождения производной 1-го порядка

или

v v  шаблон нахождения производной n-го порядка

3.  3.  Заполнить шаблон данными:

2.1 Примеры нахождения производных

1. Найти производную функции в точке x=2.

2. Найти производную той же самой функции в точках x, на заданном интервале.

3.Найти вторую производную той же функции в точке x=3.5

3. Нахождение производной в общем виде

Для вывода на экран формулы нахождения производной необходимо:

v v  на ПИ выбрать шаблон неопределенного интеграла производной;

v v  заполнить его;

v v  набрать на клавиатуре Ctrl+.(точка);

v v  нажать ввод.

4. Физический смысл производной

Пусть s=s(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через ∆s путь, пройденный за промежуток времени ∆tот момента t до t+∆t, то есть ∆s=s(t+∆t)-s(t).

Отношение называется средней скоростью точки за время  от t до t+∆t.

Мгновенной скоростью точки в данный момент времени t называется предел средней скорости за промежуток от t до t+∆t, когда :

    или   

Ускорение точки в данный момент вычисляется по следующей формуле:

4.1 Пример применения физического смысла производной

Точка движется по закону . Определить ее мгновенную скорость в момент времени t=5 с.

5. Геометрический смысл производной

Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке a равен первой производной функции в данной точке: , где

β  - угол наклона касательной к оси Ох.

Уравнение касательной имеет вид:

 - угловой коэффициент касательной к графику функции, в точке x=a

5.1 Пример нахождения уравнения касательной функции в некоторой точке

Найти уравнение касательной к функции , в точке x₀ = 2 и ее наклон к оси Ох.

 

6. Приложения производной

6.1. Экстремумы функции

Правило1 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака первой производной):

Пусть , то если при переходе через точку x₀ функция f(x) меняет знак с + на – (с – на +), то x₀ – точка локального максимума (минимума).

Правило 2 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака второй производной):

Пусть  и , тогда если , то x₀ – точка локального максимума (минимума).

Пример  нахождения экстремумов функции.

6.2. Разложение функции в ряд Тейлора.

Для приближенного определения значения функции f(x) разложим данную функцию в Ряд Тейлора в окрестности точки x=a.

7. Встроенные функции решения краевых задач, заданных в форме Коши