Основные сведения из теории погрешностей. Решение трансцендентных уравнений. Задачи линейной алгебры. Вычисление определенных интегралов

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Вычисление определителей. Обращение матриц. Итерационные методы решения СЛАУ.

Тема 4. Аппроксимация зависимостей.

Постановка задачи, основные понятия. Полиномиальная интерполяция. Интерполяция каноническим полиномом. Интерполяционный полином Лагранжа. Интерполяционный полином Ньютона. Интерполяция сплайнами. Метод наименьших квадратов.

Тема 5. Вычисление определенных интегралов.

Постановка задачи, общая характеристика методов. Методы прямоугольников. Метод трапеций. Экстраполяционный переход к пределу. Метод Симпсона.

Тема 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задача Коши. Одношаговые методы решения задачи Коши: решение с помощью рядов Тейлора; метод Эйлера; усовершенствованный метод Эйлера; модифицированный метод Эйлера; метод Рунге-Кутта 4 порядка; метод Кутта-Мерсона. Применение одношаговых методов для решения дифференциальных уравнений высоких порядков. Общая характеристика одношаговых методов. Методы прогноза и коррекции: метод Адамса; метод Гира. Общая характеристика методов прогноза и коррекции.

Общие организационно-методические указания

Данные указания содержат задания по курсовой работе, выполняемой студентами в четвертом семестре.

В практическом плане курсовая работа предполагает знакомство с операционной системой современных персональных компьютеров Windows и довольно детальное изучение таких популярных программных средств как табличный процессор Excel и текстовый редактор Word. В связи с этим в данные методические указания включены разделы, позволяющие студентам ознакомиться в достаточной мере с этими программными средствами. В теоретическом плане курсовая работа охватывает 5 разделов дисциплины "Численные методы решения задач на ЭВМ":

1.  нахождение корней алгебраического уравнения методом простых итераций;

2.  построение интерполяционного полинома Ньютона;

3.  аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов;

4.  вычисление определенных интегралов методом средних прямоугольников и методом трапеций;

5.  решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Вычислительная часть курсовой работы состоит из двух задач, формулировка которых дана ниже. Выполняется вычислительная часть курсовой работы  с помощью табличного процессора  Excel. В данных методических указаниях приведены примеры решения некоторых из перечисленных выше задач с использованием Excel.

Отчет по курсовой работе должен быть выполнен в текстовом редакторе WORD на листах формата А4 (шрифт – 12пт; поля верхнее, нижнее – 2см, левое – 3см, правое 1см; отступ абзаца – 1см; нумерация страниц – внизу, по центру), сшит и иметь титульный лист, оформленный в соответствии с приведенным ниже образцом.

В настоящих методических указаниях приведены: формулировки заданий на курсовую работу, индивидуальные варианты, краткие сведения по операционной системе Windows, табличному процессору Excel и текстовому редактору Word, необходимые для выполнения курсовой работы, а также примеры решения в среде Excel отдельных математических задач, фигурирующих в задании на курсовую работу.

СПИСОК  РЕКОМЕНДУЕМОЙ  УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ

1. МАЛИКОВ В.Т., КВЕТНЫЙ Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ:  Учеб.пособие. - Киев: Выща шк, 1989.-213с.

2. ВОЛКОВ Е.А. Численные методы.-М.: Наука,1987.-.

3. МУДРОВ А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. –Томск, :МП "РАСКО", 1991. -272с.

4. ВОРОБЬЕВА Г.Н., ДАНИЛОВА А.Н.    Практикум по вычислительной математике:  Учеб.пособ.-М.:Высш.шк,1990.-208с.

5.  ЕРШОВ М.Н. Численные методы решения задач: Конспект лекций. - Керчь : КМТИ, 2001, 59 с.

ЗАДАНИЕ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ ЧАСТЬ

ЗАДАЧА 1

Вычислить определенный интеграл

где g(x) – функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

1.  По заданным экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость .

2.  Построить график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.

3.  Построить график функции F(g(x), x) на интервале [a,b] c шагом (b-a)/20.

4.  Вычислить интеграл (1) методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.

5.  Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.

Набор исходных экспериментальных данных выбирается из таблицы 1.1, аналитический вид функции F(g(x), x) и пределы интегрирования выбираются из таблицы 1.2 по формуле: W=N mod 34, где N - число, образованное двумя последними цифрами шифра студента.

ЗАДАЧА 2

Методом простых итераций определить корень уравнения

y(x)=0,

где y(x) - решение задачи Коши

y' = f(x,y),  y(x₀)=y₀.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

1. Решить на интервале [x_n,x_k] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка y'=f(x,y) при начальных условиях y(x₀)=y₀ методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

2. Построить графики найденных решений.

3. Из таблицы значений y(x), найденной для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, для точки пересечения ее графика с осью абсцисс выбрать 4 последовательные точки, ближайшие к ней и расположенные по обе стороны от нее.

4. По выбранным четырем точкам построить интерполяционный полином Ньютона P₃(x) 3-го порядка.

5. Методом простых итераций c точностью  найти корень уравнения