Второй потенциал поля точечного магнитного диполя. Магнитное поле B точечного магнитного диполя

                      1             1 ^FGHr '     0I^JK       1 ^F0^I         1 ^F   1^IK

 ≈ + r',∇'= − ^GHr',∇r ' ^JK = − Hr',∇ r − r' rrr r

== q

r

          Здесь ∇¹ = − ^r₃ , так как E      _q ^r₃ . Тогда r         rr

|_E = −∇ϕ T|

           1       ≈ 1 − FHr',− r3 IK = 1 + 13 ⋅ar r', f r − r' r         r         r         r

        Подставим это в выражение для векторного потенциала контура с током

A ra f = z ^I ⋅ ^dr' и получим _l' c r − r'

                      A ra f = I ⋅z dr'     ≈ I ⋅TRSzl' dr' + zl' ar r',3 fdr'UWV = I ⋅ 1⋅zl' dr'+ I ⋅ 13 ⋅zar r dr', f    ' c l' r − r'        c        r         r         c r      c r      _l'

          Здесь первый интеграл в правой части равенства равен нулю zdr' = 0, так как интеграл zda⋅ =f 0 равен нулю для любой функции под знаком l'

l'

дифференциала и в частности для r '. Тогда

I

      A ra ^fzar r dr', f '

                                 cr    l'

     Мы хотим выразить векторный потенциал A ra f через магнитный дипольный момент m ≡ ^I S , где S — вектор площадки ограниченной контуром c

с током I .

          С этой целью рассмотрим

           m B, = M = ^zdM = ^z r dF', ' = ^zL^MNr', ^I dl ',BO^PQ

                                               _l'                l'                         l'           c

              Здесь в последнем равенстве подставлено выражение для силы Ампера

dF ^{= I }dl ',B^ , действующей на элемент тока Idl ', радиус-вектор которого c

равен r '.

 Учтем, что dl '= dr', и получим  m B, = ^zL^MNr', ^I dr B', O^PQ = ^I ⋅z r', dr B',  .

                                   l'           c                   c l'

Двойное векторное произведение в правой части равенства преобразуем по правилу "бац минус цап" и получим

           m B, = ^I ⋅zdr r B'c ', h− ^I ⋅z B r dra ',     'f = ^I ⋅zcr B dr', h ' − ^I B⋅zar dr',           'f

                                     c l'                                c l'                                c l'                              c      l'

 Второй интеграл в правой части равенства равен нулю. И действительно, d r ra ', 'f ⁼ adr r', 'f⁺ ar dr', 'f = 2ar dr', 'f => ar dr', 'f = d r ra ', 'f => zar dr', 'f = ^{1 ⋅}zd r ra ', 'f, где последний интеграл равен нулю, так как интеграл

l'2 l' zda⋅ =f 0 равен нулю для любой функции под знаком дифференциала.

l'

 Тогда в выражении для векторного произведения m B, останется только первый интеграл:

           m B, ^{= I ⋅}zcr B dr', h '

c l'

Это равенство справедливо для любого значения вектора B, если считать, что поле B одинаковое во всех точках.

 Хотя это равенство было получено с использованием закона Ампера dF ^{= I} dl B, , вектор B в равенстве m B, ^{= I ⋅}zcr B dr', h ' может иметь любое c       c l'

значение, а значит, его можно сделать равным любому наперед заданному вектору, например, вектору r .

             Следовательно, в равенстве       m B, ^{= I ⋅}zcr B dr', h ' вектор B можно

c l'

заменить на вектор r . В результате получим  m r, ^{= I ⋅}zar r dr', f '.

c l'

 Сравним это равенство с полученным выражением для векторного потенциала A ra ^fzar r dr', f ' и получим

I

                                                cr     l'

   — векторный потенциал точечного магнитного диполя, где r

— вектор из диполя в точку наблюдения. Формулу без доказательства нужно знать к экзамену.

Заметим, что это равенство похоже на потенциал электрического диполя ϕ= ap r,3 f .

r

Факультатив. Магнитное поле B точечного магнитного диполя.

                                         B = rot Ac h = rotFGH m r,3 IJK = NLM∇, m r,3 QOP = LNM∇,NLMm, r3 OQPQOP r        r         r

          Правую часть равенства распишем по правилу "бац минус цап" и получим

          B = mFH∇, ^r₃ IK − ^r₃ d∇,mi. r          r

            Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю, так как

FH∇, ^r₃ IK = divF_H ^r₃ IK = div Ec ₁h, где E₁ — напряженность поля единичного r       r

точечного заряда в начале координат, в точке r = 0. По теореме Гаусса в дифференциальной форме div Ec h = 4πρ, а для единичного точечного заряда в начале координат имеем ρ= 0 во всех точках кроме точки r = 0,

следовательно, div Ec h = 0 во всех точках, кроме точки r = 0, тогда и FH∇, ^r₃ IK = 0 r во всех точках, кроме точки r = 0.

          Тогда магнитное поле диполя:

      B = −dm,∇i ^r₃ .

r

   Раскроем правую часть равенства, как производную от произведения r на

1

:

r 3

                    B = − ¹₃ dm,∇ir − r md ,∇i ¹₃ = − ¹₃ dm,∇ir − r mFH ,∇ ¹₃ IK . r         r         r         r

Рассмотрим подробнее первое слагаемое правой части равенства: dm,∇ =ir F^GHm_{x ∂}∂_x + m_{y ∂}∂_y + m_{z ∂}∂_zI^J_Kdxi + +yj zki= m_{x ∂}∂_x xi + m_{y ∂}∂_y yj + m_{z ∂}∂_z zk = m i_x + m j_y + m k_z = m

          Тогда

                    B = − ^m₃ − r mFH ,∇ ¹₃ IK . r r

          Рассмотрим теперь второе слагаемое:

  ∇FH 13 IK = ∇FGHFH1IK 3IKJ = 3FH1IK 2 ∇1 .

                       r               r              r        r

R|ϕ= q | r

          Здесь ∇¹ = − ^r₃ , так как |SE = q ^r₃ . Тогда r      r         |   r

|_E = −∇ϕ

T|

          ∇F_H ¹₃ IK = 3⋅F_H ¹₂ IK ⋅ −F_H   ^r₃ IK = −3 ^r₅ . Подставим это значение в выражение для r         r         r         r магнитного поля B точечного магнитного диполя и полуим:

                    B = − m3 − r mFH ,−3 r3 IK = 3am r r, 5 f − m3 . r     r r         r

B = 3a^{m r r,} ₅ f − ^m₃ — магнитное поле точечного диполя, где m ≡ ^I S —   c магнитный дипольный момент, r — вектор из диполя в точку наблюдения. Эту формулу без доказательства нужно знать к экзамену. Заметим, что это выражение полностью совпадает с выражением для электрического поля,

создаваемого электрическим диполем E = 3a^{p r r,} ₅ f − ^p₃ . a ^f    a f r r

B     m       r магнитное поле точечного диполя с учетом r   r         3

поля внутри самого диполя (без доказательства). Но a     f

E                            p   arf.

                    r          r      3

Магнитное поле в веществе.

Экзамен. Намагниченность и связанные токи.

M ≡ ^dm — намагниченность или объемная плотность магнитного dV

Для электрического поля аналогично P ≡ ^dp — поляризация или dV

объемная плотность электрического дипольного момента