Электрический диполь. Потенциал поля точечного диполя. Изменение дипольного момента при переходе от одной системы отсчета к другой

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Изменение дипольного момента при переходе от одной системы отсчета к другой.

Пусть rIII — положение второй системы отсчета относительно первой, rIi — радиус-вектор заряда qi в первой системе отсчета, rIIi — радиусвектор заряда qi во второй системе отсчета.

 

Из рисунка видно, что rIIi = rIi rIII . Обозначим дипольный момент относительно первой системы отсчета за pI , а относительно второй системы —

pII . Тогда

       pII = ∑q ri IIi = ∑qi ⋅brIi rIII g = ∑q ri Ii − FHG∑qiIJK ⋅rIII = pI Q rIII

i i i i

 pII = pI Q rIII

Здесь pII — дипольный момент во второй системе отсчета, pI — дипольный момент в первой системе отсчета, Q — полный заряд системы, rIII — положение второй системы отсчета относительно первой.

Экзамен. pII = pI при Q = 0.

Дипольный момент не зависит от системы координат, если полный заряд системы равен нулю. Обычно дипольный момент системы зарядов рассматривают только в том случае, если полный заряд системы равен нулю. Тогда обычно величина дипольного момента не зависит от положения начала координат.

Экзамен. Простейший электрический диполь.

Простейший электрический диполь — это пара точечных зарядов противоположных знаков и одинаковых по модулю.

 

            p q r      ql       =>

i

           p = ql

Здесь p — дипольный момент пары зарядов −q и +q , l — вектор направленный из заряда −q к заряду +q .

Факультатив. Простейший квадруполь, октуполь, гексадекаполь и т.д.

Если точечный заряд продублировать, поменять знак и сдвинуть, то полученная пара зарядов образует простейший диполь.

Если заряды простейшего диполя продублировать, поменять их знаки и сдвинуть на один и тот же вектор, то образуется простейший квадруполь.

 

          На рисунке приведены два варианта квадруполей.

Если заряды простейшего мультиполя продублировать, поменять их знаки и сдвинуть на один и тот же вектор, то образуется простейший мультиполь следующего порядка.

Экзамен. Напряженность поля точечного диполя.

ap r, f

          E = −∇ϕ= −∇    3

r

       Раскроем последнее выражение, как производную от произведения ap r, f

1 на 3 . r

                               ap r, f   1    a  f a  f   13

                         E = −∇  3             = − 3 ⋅∇ p r,    − p r, ⋅∇      r     r         r

Вычислим отдельно каждую из производных в последнем выражении.          Сначала вычислим ∇ap r, f.

                 ∂              ∂

        ap r, f = dp xx + p yy + p zz i = px      =>            ∇ap r, f = p

               ∂x             x

1

          Вычислим теперь 3 . r       ∇ 3 = ∇FGHFH IK3IJK = 3FH IK2 ⋅∇       

                      1            1             1         1

                     r             r              r          r

1

  Найдем ∇ : r q U| ϕ=

r |

E = q 3 r |

|

E = −∇ϕ

W|

          Тогда

                          r           q

=>         q 3 = −∇      r    r

=>

      1          r

∇ = − 3 r      r

2

2

                          r     |

                      1      F1I   1     F1I F  r I     r

              ∇ 3 = 3H K ⋅∇        = 3H K ⋅ −H 3K = −3 5 . r r       r         r         r         r

R

ap r, f = p

                                           S                  13     a  f a  f   13

             Подставим 1              r в E = −      ⋅∇ p r,   − p r,  ⋅∇ и получим:

T|∇ 3 = −3 5             r         r r     r

                         ap r r, p

         5     , где r — вектор, направленный из диполя p в точку наблюдения.

Факультатив. Напряженность поля точечного диполя с учетом поля внутри самого диполя.       Без доказательства: a f

           E                      p    arf.

                                   r          r      3

Здесь δarf — дельта-функция Дирака. Для дельта-функции по определению: при r ≠ 0: δarf = 0,  при r =0: δarf = ∞,  zδarf⋅dV =1.

          f — очень узкая и очень высокая функция.

Для точечного заряда q0, расположенного в точке r0, объемная плотность заряда:  ρarf = q0 ⋅δbr r0g.

Экзамен. Момент сил, действующих на точечный диполь в электрическом поле.

         Рассмотрим систему зарядов lqiq, близко расположенных друг к другу.

Суммарный момент внутренних сил равен нулю в соответствии с третьим законом Ньютона. Тогда момент сил, действующих на систему зарядов, можно найти, как сумму моментов внешних сил, действующих на каждый из зарядов:

         M = ∑ Mi = ∑ r Fi , i = ∑r q Ei , i       i  .

                              i                   i                         i

Если расстояния между зарядами малы, то напряженности внешнего электрического поля в точках расположения разных зарядов примерно равны

Ei E . => L O

         M = ∑ r q Ei , i i ≈ ∑r q Ei , i= ∑q r Ei i ,= NM∑q r Ei i , QP = p E,                                                         =>

                              i                              i                             i                               i

            M = p E,     , где M — момент сил, p — дипольный момент, E — внешнее по отношению к диполю электрическое поле.

Экзамен. Сила, действующая на точечный диполь в электрическом поле.

Сумма внутренних сил между зарядами диполя равна нулю по третьему закону Ньютона. Тогда силу, действующую на диполь, можно найти, как сумму внешних сил, действующих на отдельные заряды диполя:

           F = ∑Fi = ∑qEi i .

                            i                i

Если, как и в предыдущем вопросе считать, что Ei E , то для диполя с нулевым суммарным зарядом суммарная сила будет равна нулю. В таком случае для определения величины силы потребуется учесть небольшое различие величин Ei в точках расположения разных зарядов диполя. Чтобы учесть это различие, разложим напряженность электрического поля E в ряд Тейлора в малой окрестности рассматриваемого диполя.

          Поместим начало координат вблизи зарядов диполя. Рассмотрим разложение x-проекции поля E в ряд Тейлора в точке расположения заряда qi . Это разложение по степеням радиус-вектора ri . По аналогии с одномерным рядом Тейлора:

|f xa f ≈ f a f0 + xU| df ||S i dx x=0||V | | T||f xa f→ Eix = E rxb gi W||

             x r                                     =>

  Eix = E rxb i g ≈ Exa0f + FHri ,∇Ex r=0IK = Ex +dri ,∇Ex i = Ex +dri ,iEx                                                                                               =>

i

         Ei E +dri ,∇iE            =>

            F = ∑ ∑q Ei                                     i ≈       q Eio + dri ,∇iEt = E ⋅∑ ∑qi + FGH q ri i ,∇IJKE = QE + dp,∇iE

                            i                     i                                                        i                   i

В последнем выражении первое слагаемое — сила, действующая на полный

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
137 Kb
Скачали:
0