Система уравнений Максвелла. Метод последовательных приближений вычисления квазистационарных электромагнитных полей

Экзамен. Система уравнений Максвелла.

(один из основных вопросов курса)

Уравнения Максвелла справедливы для переменных электромагнитных полей.

^R|div Dc h = 4πρ

|^||Srot Ec h = −¹⋅ ^∂B

c ∂t

                                                      —      система       уравнений                                         Максвелла             в

|div Bc h = ₀

|

T||rot Hc h = 4πj + 1⋅ ∂D c c ∂t

дифференциальной форме.

R|div Dc h = ρ |^||Srot Ec h = − ∂^B

∂t

В системе СИ: . |div Bc h = ₀

|

_T^||rot Hc h = _j + ∂^D

∂t

Чтобы уравнения имело смысл решать относительно электрического и магнитного полей, нужно дополнить их так называемыми материальными связями:

D =εE

                       ,

B =µH  которые нужно дополнить законом Ома j =λE , если токи не заданы явным образом.

^R|SD =εε₀0 E

            В системе СИ: B = µµH .

T|j =λE        Кроме того, заряды и токи связаны уравнением непрерывности: c h ∂ρ

           div j +       = 0

∂t

Для решения задач обычно удобнее использовать уравнения Максвелла в интегральной форме:

     ^R||zcD dS,         h = 4πQ

S

^z E dl_l               ^zcB dS,    h ^|Szl c  h c        t S

                | B dS,  = 0

S

     T^||z H dl_l zcD dS^,   h

lS

          Прокомментируем каждое из 4-х уравнений.

Первое из уравнений Максвелла можно записать в виде Φ_D = 4πQ. Для полей независящих от времени — это электростатическая теорема Гаусса. Для переменных полей теорема доказана быть не может, но Максвелл предположил, что равенство остается верным и для переменных полей. Все следствия из этого предположения согласуются с опытом.

Второе уравнение rot Ec h = −¹⋅ ∂^B — обобщение Максвелла закона c ∂t

электромагнитной индукции Фарадея E_инд = −¹ ⋅ ^dΦ^B . Заметим, что закон c      dt

Фарадея    содержит    полную    производную,    а     уравнение                  Максвелла         в интегральной форме  содержит частную производную

                                                         l                            S

от потока ^Φ_B ⁼ _∫(B dS, ) по времени. Дело в том, что изменение потока при S

движущемся контуре дает вклад в э. д. с. индукции E_инд = E ^≡ _∫(E_стор,dl )

l

через силы Лоренца F_Л , которые рассматриваются, как сторонние силы с

напряженностью E_стор ^{= FЛ = 1}c ^V B,         ^ , но не дает вклад в циркуляцию _q

E dl,            i поля E , поэтому в циркуляцию дает вклад только частная производная

l по времени.

         Третье уравнение Φ_B = 0 означает отсутствие магнитных зарядов.

   Четвертое уравнение rot Hc h = ^4πj + ¹⋅ ∂^D представляет собой теорему о

                                                                                              c        c   ∂t

циркуляции поля в магнитостатике дополненное токами смещения Максвелла.

          Факультативная вставка.

R|div Dc h = 4πρ

|||Srot Ec h = −1⋅ ∂B

c ∂t

Система    уравнений         Максвелла           —         это     8 |div Bc h = 0

|

T||rot Hc h = 4πj + 1⋅ ∂D c   c ∂t

одномерных уравнений для 6-и одномерных неизвестных E и B.

Система уравнений избыточна. В системе дифференциальных уравнений для нескольких функций одной переменной, как и для системы обычных алгебраических уравнений, нужно чтобы число уравнений совпадало с числом неизвестных. Произвол, который содержится в решении дифференциальных уравнений с одной переменной, — это несколько произвольных констант интегрирования, их число равно сумме порядков старших производных в уравнениях.

Если же решаются дифференциальные уравнения в частных производных, то произвол решений гораздо больше. Для устранения произвола могут потребоваться дополнительные дифференциальные уравнения. Тем не менее, в случае электромагнитных полей система действительно избыточна.

R|TS|div Dcc hh = 4πρ

Дело в том, что уравнения  не нужны, так как являются div B = 0

R^||Srot Ec h = −¹⋅ ^∂B

c ∂t

следствием другой пары уравнений                                        .

T||rot Hc h = 4πj + 1⋅ ∂D c c ∂t

И действительно. Рассмотрим дивергенцию от уравнения rot Ec h = −1⋅ ∂B .

c ∂t

          Дивергенция ротора любого поля равна нулю:

 div rot Ed c hi = e∇ ∇, ,E j = eE, ∇ ∇, j = cE,0h = 0, где использовано то, что циклическая перестановка векторов в смешанном скалярно-векторном произведении e∇ ∇, ,E j не изменяет его величину. Тогда  0 = div rot Ed c hi = divFGH−1⋅ ∂BIJK = −1⋅ ∂ div Bc h  =>

                                                                        c ∂t           c ∂t

−¹⋅ ^∂ div Bc h = 0  =>  div Bc h = const — дивергенция поля B c ∂t не изменяется со временем.

Если когда-то в рассматриваемой области не было магнитного поля B, то и его дивергенция была равна нулю div Bc h = 0, а затем дивергенция не могла измениться. Следовательно,  div Bc h = 0.

                 Аналогично из уравнения rot Hc h = ^4πj + ¹⋅ ∂^D можно получить