Комплексные токи и напряжения. Трехфазное напряжение. Эффективное напряжение. Асинхронный трехфазный двигатель

Экзамен. Комплексные токи и напряжения.

          Комплексные токи и напряжения вводят для рассмотрения гармонически изменяющихся токов и напряжений. Комплексные токи и напряжения позволяют заменить дифференциальные уравнения Кирхгофа для токов комплексными уравнениями Кирхгофа.

          Рассмотрим вещественное напряжение:

U t( ) =U₀cos(ω ϕt ⁺ ₀), где U₀ — вещественная амплитуда, ω — циклическая частота, ϕ₀ — начальная фаза.

Будем называть соответствующим комплексным напряжением величину: ^~

_{U t}( )=U e₀ i(^{ωϕt+ 0}), где волной сверху _U^~ будем обозначать, что величина комплексная.

          Тогда U ta f = ReFGHU t~a fIJK

        U~ =U eⁱ(ωϕt+ 0) =U e0 iϕ0 ei tω =U e~ 0 i tω , где

0

~

U0 ≡U e₀ ^iϕ0 — комплексная амплитуда напряжения, U₀ — вещественная амплитуда, ϕ₀ — начальная фаза или фаза в нулевой момент времени.

                ~           ~

          U t( )=U₀ e^{i tω}

Гармонически      изменяющееся      напряжение          можно изобразить на комплексной плоскости напряжений.

          Напряжение, которое есть на самом деле, — это вещественное напряжение равное проекции комплексного напряжения на вещественную ось ReF^GHU t~a fI^JK =_{U t}a f.

Комплексная амплитуда напряжения тоже может быть изображена на комплексной плоскости — комплексной плоскости амплитуд. В отличие от комплексного напряжения комплексная амплитуда не изменяется во времени и не вращается на комплексной плоскости.

Аналогично комплексным напряжениям вводятся комплексные токи.         I t( ) = I₀ cos(ω ψt ⁺     ₀) — вещественный ток.

^~I t( )= I e₀ ⁱ(^{ωψt+ 0}) — соответствующий ему комплексный ток.  I ta f = ReFGH I t~a fIJK

      ~I t( )= I e0 i(ωψt+ 0) = I e0 iψ0ei tω = ~I e0 i tω         =>

~

I0 ≡ I e₀ ^iψ0 — комплексная амплитуда тока, I₀ — вещественная амплитуда тока, ψ₀ — начальная фаза тока или фаза в нулевой момент времени.

                ~          ~

          I t( )= I e0 i tω

Факультатив. Трехфазное напряжение.

                        ,         .

Экзамен. Эффективное напряжение.

Эффективное значение переменного напряжения любой формы равно по величине постоянному напряжению, которое также нагревает сопротивление, как и рассматриваемое переменное напряжение.

U2

             Мощность Ленц-Джоулева тепла       N =             . Согласно определению

R

эффективного напряжения

                                 U 2       Uэфф2

 N = = => R    R

          Uэфф2 ≡ U 2 ( )t .

 Аналогично для тока N = I²R =>  Iэфф2 ≡ I2 ( )t .

   Для гармонически изменяющихся напряжений U t( ) =U₀ cos(ω ϕt ⁺ ₀)

          Uэфф2 U2 t            U2                                                               2       t         U2    2                    t U2              =>

           Uэфф = U0 .

2

          Аналогично для гармонически изменяющегося тока: I_эфф ^{= I} .

          Для напряжения (или тока) в форме меандра

--------

Бытовое напряжение сети переменного тока 220 Вольт — эффективное напряжение.

          Для трехфазной сети переменного тока есть два стандарта.

          1). Сеть 220/127 Вольт. Это сеть с эффективным напряжением 127 Вольт каждой фазы относительно нулевого провода. Эффективное напряжение между фазами —220 Вольт. Бытовые приборы в такой сети включаются между двумя фазами.

2). Сеть 380/220 Вольт. В этой сети эффективное напряжение каждой фазы 200 Вольт, напряжение между фазами 380 Вольт. Бытовые приборы включаются между фазой и нулевым проводом.

Факультатив. Асинхронный трехфазный двигатель.

Двигатель имеет три неподвижных статорных обмотки, на которые подают три фазы трехфазного напряжения.

В пунктирной области между обмотками образуется вращающееся магнитное поле B, так как магнитное поле достигает максимального значения сначала в одной обмотке, затем во второй, затем в третьей.

В эту область вращающегося магнитного поля помещают ротор электродвигателя. Ось вращения ротора перпендикулярна плоскости рисунка.  На роторе электродвигателя закреплена короткозамкнутая роторная обмотка.

Для простоты будем считать, что роторная обмотка — это один виток