Билинейная форма. Определение, примеры. Пространство билинейных форм. Оператор билинейной формы. Изображающая матрица билинейной формы

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2 семестр вопросы к экзамену лектор Т. А. Суслина

1.  Билинейная форма. Определение, примеры. Пространство билинейных форм.

2.  Оператор билинейной формы. Изображающая матрица билинейной формы. Преобразование изображающих матриц билинейной формы.

З. Ядро и ранг билинейной формы. Транспонированная форма. Симметричные и антисимметричные билинейные формы.

4.  Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (комплексный случай).

5.  Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (вещественный случай). Закон инерции квадратичных форм.

6.  Вещественные евклидовы пространства. Скалярное произведение. Ортотональность. Ортонормированные базисы. Изоморфизм евклидовых просгранств.

7.  Неравенство Коши. Неравенство треугольника. Процесс ортогонализации.

8 Ортогональная сумма подпространств в вещественном евклидовом пространстве. Ортогональное дополнение.

9.  Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Билинейная форма оператора.

10.  Сопряженный (транспонированный) оператор. Симметричные и кососимметричные операторы.

11.  Изометрические операторы.

12.  Комплексные евклидовы пространства. Скалярное произведение. Ортогональность. Ортонормированные базисы. Изоморфизм евклидовых пространств.

13.  Линейные операторы в комплексном евклидовом пространстве. Полуторалинейная форма оператора.

14.  Сопряженный оператор. Теорема об образе оператора и ядре сопряженного оператора.

15.  Самосопряженные операторы.

16.  Унитарные операторы.

17.  Диагонализация самосопряженного оператора. Диагонализация эрмитовой матрицы.

18.  Диагонализация унитарного оператора. Диагонализация унитарной матрицы.

19.  Приведение квадратичной формы к сумме квадратов ортогональным преобразованием. Применение к поверхностям второго порядка.

20.  Классификация поверхностей второго порядка.

21.  Обобщенная задача на собственные значения.

22.  Приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов.

23.  Понятие о жордановой нормальной форме.

24.  Взаимно-простые многочлены и их свойства.

1

1.  Для следующей квадратичной формы в

                                                                                 Q(x) = + 4:r; + -1-                                         -}-                       -}- бС2а;з определить индексы инерции в зависимости от значений параметра А.

2.  Для следующей квадратичной формы в я^з

                                            Q(x) = Ас? — — 3:г; +                —            + 2:t2C3

определить индексы инерции в зависимости от значений параметра А.

З. В (п 2) рассматривается квадратичная форма

(lijCia;j, (lij = qji е R.

Доказать, что для положительной определенности этой формы условие qjj О, 1 . . . , п, является необходимым, но не достаточным.

4. 

Пусть Е — п-мерное линейное пространство над полем R, и Q(x, у) — симметричная билинейная форма с индексами инерции = п, п_ = О. Доказать, что имеет место неравенство

                           Q(x + у, х + у)        Q(x, х) +  Ух, у е Е, причеМ равенство имеет место для тех и только тех векторов х, у, для которых выполнено ах = Ду при некоторых неотрицательных числах а, р, одновременно не равных нулю.

5.  Найти индексы инерции квадратичной формы Q(c) Тт Т² в линейном пространстве м^п , образованном (п х п)-матрицами с вещественными элементами.

6.  Доказать, что ортогональная проекция ребра п—мерного куба (в Р) на его диагональ равна 1 [п длины диагонали.

7.  Пусть Е — п-мерное линейное пространство над полем С, А — линейный оператор в Е, Q(x, у) — полуторалинейная эрмитова форма, причем Q(x, х) — положительно определенная. Доказать, что если Q(Ax, х) О при любом х е Е, то А — нулевой оператор. Верно ли аналогичное утверждение, если Е

2

ператора.

Задачи к экзамену по алгебре, 2 семестр

1.  Для следующей квадратичной формы в я^з

                                                                                Q(x) = + 4:r; + аз; +                                       -4-                       -4-

определить индексы инерции в зависимости от значений параметра А.

2.  Для следующей квадратичной формы в я^з

                                         Q(x) = Ас? — 2$ — Зак + 2ClT2 —             -1- 2'Г2а;з определить индексы инерции в зависимости от значений параметра А.