Уравнения, модели и характеристики линейных систем. Математические модели систем, воздействий и реакций

2 Уравнения, модели и характеристики линейных систем

Линейная система управления – это такая система, реакция которой на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а некоторому масштабному изменению воздействия соответствует пропорциональное изменение реакции. При малых воздействиях или их приращениях большинство систем может рассматриваться как линейные.

2.1 Математические модели систем, воздействий и реакций

Математические модели объектов и систем автоматического управления строятся с целью их исследования и построения на его основе моделей оптимальных систем, отвечающих требованиям заказчика.

2.1.1 Дифференциальные уравнения линейных объектов и систем

Дифференциальное уравнение – связывает воздействие на систему и ее реакцию на это воздействие. Дифференциальное уравнение это математическая модель системы или объекта управления.

В общем виде объекты и системы описываются нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим воздействие u(t) на систему и его производные по времени с реакцией v(t) системы и ее производными:

(2.1)     

Для его однозначного решения нужно задать начальные условия (НУ): v(0) = ...;  v’(0) = ...;v’’(0) = ...;

• v^(n-1)(0) = ....

Чаще всего при управлении нелинейными объектами приращение управляющих воздействий и их производных малы по сравнению со стационарными значениями, поэтому система может быть линеаризована, т.е. нелинейное дифференциальное уравнение может быть заменено линейным относительно этих приращений:

где приращения x, y – малы,       для приращений начальные условия нулевые.

Коэффициенты a_i и k_j зависят от положения  рабочей точки, в которой осуществлена линеаризация.

В уравнении  известны коэффициенты, они определяются свойствами системы, воздействие x(t) – функция времени, ее начальные условия нулевые. Искомой величиной является функция времени y(t) – реакция, отклик системы на воздействие x(t).

2.1.2 Простейшие сигналы

Сигналы – это математические модели воздействий и реакций систем и объектов. Сигналы представляют собой функции времени и являются носителями информации.

Простейшие сигналы сравнительно легко генерируются и используются в качестве пробных при исследовании объектов и систем управления.

С помощью простейших сигналов можно представить произвольный (сложный сигнал).

2.1.2.1 Гармонический сигнал

Гармонический сигнал изменяется во времени по синусоидальному закону:

(2.3)  

С помощью такого сигнала или набора (суммы) таких сигналов удобно моделировать периодические воздействия на системы, например вибрации, а также можно моделировать сигналы произвольного вида. Гармонический сигнал (2.3) характеризуется тремя параметрами (числами):

• - амплитудой X_m – максимальной величиной сигнала,
• - круговой частотой ω [рад/сек] и
• - начальной фазой φ [градусов].

Используются также дополнительные параметры:

• - f [Гц] = ω/2π - циклическая частота;
• - Т [сек] = 1/f – период.

Рис. 2.1  - Графическое изображение гармонических сигналов.

2.1.2.2 Ступенчатая единичная функция

Ступенчатая единичная функция моделирует подачу постоянного воздействия на объект и определяется следующим образом:

(2.5)

Ступенчатая функция используется в качестве пробного сигнала при оценке качества работы САР в переходном режиме. Произвольный сигнал может быть представлен бесконечной суммой ступенчатых функций.

2.1.2.3 Дельта - функция Дирака

Дельта – функция Дирака δ(t) это математическая модель короткого импульса:

(2.6)   

Дельта - функция используется в качестве пробного сигнала при оценке качества работы САР в переходном режиме. Произвольный сигнал может быть представлен бесконечной суммой дельта - функций.

2.1.2.4 Степенная функция

Степенная функция используется для представления произвольных гладких сигналов рядом Тейлора, т.е. в виде суммы парабол различных степеней, а также в качестве пробного сигнала при оценке качества работы САР в установившемся режиме. Аналитически степенная функция записывается в виде:

(2.7)

Рис. 2.4 - Графическое представление степенных функций различных порядков: нулевого - постоянная; первого – линейная функция, второго – парабола второго порядка и т.д. С увеличением порядка степенной функции  функция она с течением времени возрастает все быстрее и быстрее

В программе VisSim генератор степенной функции второго порядка реализован в блоке с адресом blocks/signal producer/ parabola

2.2 Характеристики линейных объектов

Математическое описание системы или объекта регулирования в ТАУ состоит в описании причинно-следственной связи между воздействием на систему и ее реакцией на это воздействие. Для этого используются четыре вида взаимосвязанных функций, любая