Устойчивость линейных САУ. Основные понятия устойчивости. Решение линейного дифференциального уравнения для переходного процесса, страница 3

                     Примеры годографов Найквиста статических САР (ωÎ[0...+∞))

1.  САР на колебательной границе устойчивости.

2.  Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).

3.  Неустойчивая САР.

Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне)

        Критерий Найквиста позволяет легко оценивать системы, содержащие звенья чистого запаздывания. В такой системе W(p)=W₀(p)e^-ip , где W₀ –  все остальные звенья; e^-ip – звено чистого запаздывания

W(jw)=W₀(jw)e^-jwt= W₀(jw)×(coswt - jsinwt)

                ,

Фаза:                    

Звено с запаздыванием создаёт дополнительный фазовый сдвиг , что приводит к закручиванию АФХ по часовой стрелке. Это ухудшает запас устойчивости и при некотором делает её неустойчивой.

      Критерий Найквиста широко применяется по следующим причинам: 1) Оценка устойчивости делается по переходной функции разомкнутой системы, которая состоит из ряда сравнительно простых множителей, содержащих в качестве коэффициентов её параметры, что позволяет для сложных систем выбирать параметры так, чтобы система была устойчивой.

2) Критерий позволяет использовать экспериментальные частотные характеристики вместо дифференциальных уравнений, которые для сложных систем составлять затруднительно.

3) Критерий связывает исследование устойчивости с последующим анализом качества системы управления.

                          Модифицированный критерий Найквиста

            Наиболее часто потеря устойчивости происходит в замкнутых САУ ( в системах с обратной связью) из-за неправильно выбранных параметров элементов. Это происходит потому, что введенная отрицательная обратная связь на высоких частотах превращается в положительную из-за больших отрицательных фазовых сдвигов (инерционного запаздывания).

В системе1-го порядка фазовый сдвиг стремится к величине , но не достигает её. Поэтому при охвате такой системы обратной связью неустойчивость возникнуть не может.

В системе 2-го порядка  ,но также не достигает этого значения. Поэтому и в данном случае неустойчивость не возникает.

Только начиная с 3-го порядка фазовый сдвиг на некоторой частоте равен . Тогда выходной сигнал возвращается на вход системы в противофазеи при вычитании складывается с входным сигналом x-(-y)=x+y. Возникает положительная обратная связь и система может потерять устойчивость, если сигнал обратной связи достаточно большой. Даже если разомкнутый контур устойчив, при замыкании его система становится неустойчива. Существует простой критерий устойчивости замкнутой системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, полученный на основании критерия Найквиста.

        Особая точка (-1; j0) в критерии Найквиста соответствует частоте на которой коэффициент передачи равен 1 (точка А на ЛАЧХ), а фазовый сдвиг составляет 180⁰ (точка В на ЛФЧХ). Замкнутые системы с одинаковой ЛАЧХ разомкнутой системы, но разными ЛФЧХ могут быть как устойчивыми (ЛФЧХ 1) так и неустойчивыми (ЛФЧХ2).

- частота среза, на которой ЛАЧХ пересекает ось частот, коэффициент передачи равен 1 (0 дБ).

- частота, на которой ЛФЧХ принимает значение - 180⁰. Поэтому критерий устойчивости Найквиста на языке частотных характеристик принимает следующий вид.

        Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно выполнение условия для разомкнутой системы.

          Для обеспечения надёжной работы САУ она проектируется с запасом устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде L – это расстояние в децибеллах от оси до ЛАЧХ на частоте , на которой ЛФЧХ пересекает уровень – 180⁰.

Запас устойчивости по фазе - это расстояние от ЛФЧХ до уровня -180⁰ на частоте среза, когда ЛАЧХ пересекает ось частот.

Для получения системы управления хорошего или, по крайней мере, удовлетворительного качества, необходимо выполнить три условия:

                       1 Запас устойчивости по фазе должен составлять 35⁰..65⁰ и более.

                       2 Запас устойчивости L по амплитуде должен быть 6..12..20 дБ и более.

                       3 Если система статическая, то усиление её контура должно находиться в пределах 20..40 дБ.