Электротехника \ Основы автоматического управления

Устойчивость линейных САУ. Основные понятия устойчивости. Решение линейного дифференциального уравнения для переходного процесса, страница 2

       Для уравнений, в которых n£5 более простая формулировка: чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты этого уравнения и определитель Dn-1 были положительными. Отсюда следуют условия устойчивости:

                                            Уравнение 1-го порядка: а>0, а0>0

       2-го порядка: а2>0, а1>0, а0>0 ;

                                             3-го порядка: а3>0, а2>0, а1>0, а0>0  и  D2>0, т.е. а1× а2 – а0× а3 >0;

    4-го порядка: аi>0 и D3>0;

    5-го порядка: аi>0 и D4>0.

  При n>5 определители  очень громоздкие и критерий не используется.

Пример: Исследуем на устойчивость систему с характеристическим уравнением (5.1).В этом случае аi>0 ,но D3 отрицательно.

Значит, система с таким характеристическим уравнением  неустойчива.

    Исследуем на устойчивость фотоэлектрическую систему слежения (ФСС).Ее характеристический полином

Так как система 3-го порядка, то необходимо исследовать определитель 2-го порядка.

,где К=К1К2К3К4.  

Отсюда          ;

 Поэтому необходимое и достаточное условие устойчивости

                               .                                   

        Данное неравенство показывает, что инерционное запаздывание усилителя и двигателя неблагоприятно влияет на устойчивость. Чем больше Ту или Тдв ,тем ближе система к колебательной границе устойчивости

5.3.2 Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим характеристический полином . Подставим , тогда получим характеристический комплекс .

Здесь содержит чётные степени w, а - нечётные степени.

Если значение w менять непрерывно от 0 до бесконечности, то вектор D(jw) опишет своим концом кривую (годограф) Михайлова. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вектор  D( jw) при изменении w от 0 до ¥ повернулся на угол  против часовой стрелки, нигде не меняя направления поворота.

Рис

Годограф Михайлова

Годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем различного порядка.

Для системы 1-го порядка     D(р)=а1р+а0    ;  D(jw)   =a0+ja1wРисРис кривая Михайлова вырождается в прямую.

Рис

Свойства годографа Михайлова

  • Годограф всегда спиралевиден.
  • При ω=0 годограф начинается с точки на оси х..
  • Поскольку при ω→∞ K(jω)→0 (нет безынерционных систем), годограф уходит в бесконечность.
  • При четном n, годограф стремится к ∞ параллельно оси х; при нечетном n, годограф стремится к ∞ параллельно оси jy.    :

        С помощью критерия Михайлова исследуем устойчивость системы с характеристическим полиномом, D(р)=4р4+2р3+3р2+р+5=0 рассмотренным по критерию Гурвица .

D(jw) =4w4-2jw3-3w 2+jw+5; х(w)=4w4-3w2+5; у(w)=-2w3+w.

Из условия у(w)=0 найдем частоту ,на которой кривая пересекает ось х.

 -2w3+w=0;отсюда w1=0, или -2w3=-1; ; х(w1)=5 .Поэтому координаты точек пересечения   А(5;0); х(w2)=4,5  В(4,5;0)    

Из условия х(w)=0 ищем точки пересечения кривой с осью у.    4w4-3w2+5=0;отсюда w2=z; 4z2-3z+5=0  Определитель ∆=9-80=-71, – вещественных корней нет. Значит кривая Михайлова не имеет точек пересечения с осью ординат. Кривая не прошла через 4 четверти и вектор менял направление поворота, поэтому система неустойчива.

                    Рис

Критерий Найквиста

    Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления по амплитудно - фазовой характеристике разомкнутой системы.

Для этого в выражение передаточной функции разомкнутой системы подставляют p=jw

Придается значение w от 0 до ¥ и строится годограф вектора W(jw) ,который и представляет АФХ.

Замкнутая система устойчива, если АФХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j 0) при изменении w от 0 до ¥.

                        Свойства годографа Найквиста

1.  Годограф Найквиста спиралевиден.

2.  При ω→∞ годограф W(jω)→0, т.к. нет безынерционных систем.

3.  Годограф статических САР начинается из точки на вещественной оси.

4.  Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально симметричны относительно оси х

5.  Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению годографа в ∞ и приращению его фазы на -180°.

Скачать файл