Здесь строки принадлежат ребрам, столбцы – хордам графа. Заметим, что взятые с обратным знаком элементы строки представляют собой коэффициенты, связывающие ток соответствующего этой строке ребра с токами хорд.
|
(2.3) |
Обратим внимание еще на одну особенность матрицы . Ненулевые элементы
в столбце хорды показывают, с какими ребрами данная хорда образует замкнутый
контур. При этом элементы столбца представляют собой коэффициенты, с помощью
которых напряжение хорд выражается через напряжение ребер. Таким образом, для
рассматриваемой цепи имеем:
Это полная система независимых уравнений по второму закону Кирхгоффа (ЗКН). Систему уравнений представим в матричной форме:
|
(2.4) |
С использованием полученных обозначений:
|
(2.5) |
где -вектор
напряжений хорд;
-вектор
напряжений ребер;
-транспонированная
матрица
.
Уравнение (2.5) представляет собой топологическое уравнение по ЗКН для произвольной цепи.
2.4 Матрица главных сечений произвольной схемы
Строки и столбцы матрицы можно сгруппировать
по типам элементов, к которым они принадлежат так, как это сделано в (2.3), где
-строки источников
напряжений,
-строки емкостных
ребер;
-строки резистивных
ребер,
-столбцы резистивных
хорд;
-столбцы индуктивных
хорд,
-столбцы источников
тока. При этом матрица
может быть
разбита на подматрицы и представлена в виде:
|
(2.6) |
Здесь индексы у подматриц указывают
на типы ветвей, к которым принадлежат строки и столбцы подматриц. Такое
представление является общей формой матрицы для произвольной
цепи.
Выражение (2.6) предполагает, что дерево графа выбирается таким образом, чтобы все ветви с источниками напряжений и емкостными элементами принадлежали дереву (т.е. являлись ребрами), а все ветви с индуктивностями и источниками токов принадлежали дополнению дерева (т.е. являлись бы хордами), резисторы оказываются распределенными между деревом и дополнением дерева.
2.5 Алгоритм формирования матрицы главных сечений
Формирование матрицы главных сечений производится в два
этапа. На первом этапе по введенным в ЭВМ данным цепи формируется так
называемая структурная матрица
(другое
часто встречающееся в литературе название – матрица инциденций). На следующем
этапе путем преобразований, проводимых над структурной матрицей, получают матрицу
.
Рассмотрим построение структурной матрицы. Составим матрицу
следующим образом. Припишем столбцы матрицы ветвям графа, строки – его узлам.
Дадим элементам этой
матрицы следующие значения:
Для графа, изображенного на рисунке 2.2б получим:
Каждая -я
строка такой матрицы показывает, какие ветви подключены к
-му узлу и каково их направление
относительно узла, а каждый
-й
столбец показывает, с какими узлами соединена
-я ветвь и
направление этой ветви.
Так как каждая ветвь подключена к двум узлам, то в любом из
столбцов матрицы имеется
только два ненулевых элемента, один из которых +1, другой –1.
В связи с этим значения элементов одной из строк всегда
могут быть определены через элементы других строк, поэтому одну из строк можно
вычеркнуть. Вычеркивая в последнюю
строку, получают следующую матрицу:
|
(2.7) |
Эта матрица дает топологическое описание цепи и называется структурной матрицей.
Так как строки матрицы указывают ветви, подключенные
к соответствующим узлам и их направление относительно узлов, то, умножая строки
матрицы на вектор токов ветвей
,
будем иметь алгебраическую сумму токов в узлах, которая по ЗКТ равна нулю.
Следовательно:
|
(2.8) |
Действительно, подставим в (2.8) данные цепи, изображенной на рисунке 2.1:
Эта матричная запись соответствует следующей системе уравнений:
|
(2.9) |
Для получения матрицы необходимо данную систему
уравнений решить относительно токов ребер. Эта операция может быть выполнена
методом исключения переменных: из всех уравнений, кроме первого исключается ток
, затем из всех
уравнений, кроме второго, исключается ток
и т.д. Проведение
операции исключения переменных преобразует матрицу
таким образом, что в
левой части образуется единичная матрица
, а правая часть
представляет искомую матрицу главных сечений
. Алгоритм получения
матрицы
из
можно представить
следующей последовательностью шагов:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.