по связи и информатизации
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
к тестовым заданиям по курсу «Высшая математика»
(для студентов I курса (2 семестр) заочного факультета)
2003
: Методическая разработка к тестовым заданиям по курсу « Высшая математика» (для студентов I курса (2 семестр) заочного факультета).
Хабаровский филиал СибГУТИ. 2003 г.
Методическое пособие предназначено для студентов факультета заочного обучения и рассматривает вопросы по темам: интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, элементы операционного исчисления. Приведено решение примеров по тестовым заданиям.
Кафедра математики и физики.
Рецензент:
Утверждено Советом факультета дневного отделения от 26.03.03.
Протокол № 19 (дополнительный).
Стр.
1 Интегральное исчисление………………………………………………..………..4
1.1 Неопределенный интеграл………………………………………………………..4
1.1 .1 Преобразование подынтегральной функции к сумме функций………………5
1.1.2 Вычисление интегралов с применением компенсирующего множителя……………………………………………………………………….5
1.1.3 Вычисления интегралов путем введения функции под дифференциал…….……………………………………….…………………….7
1.1.4 Вычисление интегралов с применением формулы
…………..…………………………………………………7
1.2 Определенный интеграл…………………………………………………………..8
1.3 Интеграл с бесконечными пределами……………………………………………9
2 Дифференциальные уравнения……………..…………………………………...11
2.1 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными……………………………………………………………………..11
2.2 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка………………..12
2.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………………..13
2.4 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка……………………………………………………………………………14
2.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………16
2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………18
3 Элементы операционного исчисления……………………………………….…21
Список литературы……..……………………………………………………………..24
1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.1 Неопределенный интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x), определенной на [a, b], если в каждой точке этого отрезка F’(x)=f(x).
Процесс нахождения первообразной для заданной функции f(x) называется интегрированием.
Определение: Выражение F(x)+C, где F(x) –
первообразная функции f(x), С-
постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается .
Таким образом, по определению:
.
1 |
|
14 |
|
2 |
|
15 |
|
3 |
|
16 |
|
4 |
|
17 |
|
5 |
|
18 |
|
6 |
|
19 |
|
7 |
|
20 |
|
8 |
|
21 |
|
9 |
|
22 |
|
10 |
|
23 |
|
11 |
|
24 |
|
12 |
|
25 |
|
13 |
|
26 |
|
Правила интегрирования:
1 ,
2 , где С-const,
3
При интегрировании функции различными методами, в итоге, интегралы будут сводиться к одному или нескольким табличным. Рассмотрим методы интегрирования функций, которые применяются при решении текстовых заданий.
1.1.1 Преобразование подынтегральной функции к сумме функций
Пример 1.
Вычислить
интеграл .
Решение:
При решении использовались табличные интегралы, произвольные постоянные объединены в одну.
Пример 2.
Вычислить интеграл.
Решение:
1.1.2 Вычисление интегралов с применением компенсирующего множителя
Если , то
, где a,b,C – const (a¹0).
Множитель называется
компенсирующим множителем.
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
, здесь а=4.
Пример 2.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 3.
Вычислить интеграл
Решение:
Легко
видеть, что ,
следовательно
Пример 4.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример 5.
Вычислить
интеграл
Решение:
1.1.3 Вычисление интегралов путем введения функции под дифференциал
Если интеграл можно записать в виде:
,
то с учетом того, что
,
получим:
Если принять ,
и полученный интеграл совпадет с табличным интегралом, то применяется третье
правило интегрирования.
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 2.
Вычислить интеграл
Решение:
Здесь, поэтому,
умножим и разделим интеграл на 3.
1.1.4 Вычисление интегралов с применением формулы
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
В числителе должна стоять производная от знаменателя.
Пример 2.
Вычислить
интеграл
Решение:
½в числителе стоит
производная от знаменателя½=
Интеграл можно
вычислить еще одним способом: легко видеть, что
,
следовательно
В данном примере применяли табличный интеграл (10).
1.2 Определенный интеграл
Для определенного интеграла применяется формула Ньютона – Лейбница:
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 2.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 3.
Вычислить интеграл
Решение:
В числителе стоит производная знаменателя, поэтому
Пример 4.
Вычислить интеграл
Решение:
1.3 Интеграл с бесконечными пределами
Определение: Несобственным интегралом первого рода от функции f(x)
называется
предел интеграла при
t®+¥ :
Если предел существует и конечен, то интеграл сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов.
,
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 2.
Вычислить интеграл
Решение:
не
существует, следовательно, интеграл расходится (не существует).
Пример 3.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 4.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример 5.
Вычислить интеграл
Решение:
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными имеют общий вид:
.
Интегрирование уравнения проводится следующим образом:
1)представим ,
тогда уравнение запишется
;
2) умножим на dx, получим ,
3) разделим на :
.
Примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:
Пример 1.
Делим обе части уравнения на xy¹0:
Далее
интегрируем.
Пример 2.
Преобразуем уравнение:
.
Делим обе части
уравнения на :
Пример 3.
Разделим на :
Пример 4.
Преобразуем обе части уравнения:
Разделим на 1+ex обе части уравнения:
2.2 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Если в дифференциальном уравнении функцию
f(x,y) можно
преобразовать к виду
,
то дифференциальное уравнение называется однородным.
Однородное уравнение задается в дифференциальной форме:
.
Функции P(x,y) и Q(x,y) – однородные одинакового порядка
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.