Элементы линейной и векторной алгебры. Формулы Крамера. Геометрический вектор

1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1 Определители

ОПР: Определителем второго порядка называется число, обозначаемое: .

ВЫЧИСЛЕНИЕ: .

ПРИМЕР: Вычислить определитель второго порядка:

ОПР: Определитель третьего порядка – это число:

ВЫЧИСЛЕНИЕ:

*

* .

ПРИМЕР: Вычислить определитель третьего порядка:

УПРАЖНЕНИЯ:

1.2 Формулы Крамера

Дана линейная неоднородная система  алгебраических уравнений с  неизвестными ()

, где: , ,  – неизвестные;  – коэффициенты уравнения;

, ,  – свободные члены.

ОПР: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы.

ОПР: , ,  – определители, составленные из главного определителя системы заменой столбца коэффициентов при неизвестных  столбцом свободных членов.

.

.

.

ТЕОРЕМА: Если главный определитель системы  линейных неоднородных уравнений с  неизвестными отличается от нуля, то система совместна.

Решение этой системы можно найти по формулам Крамера:

.

ПРИМЕР: Решить систему по формулам Крамера:

.

РЕШЕНИЕ:

 система совместна;

;

;

.

Ответ: .

УПРАЖНЕНИЯ: Решить систему по формулам Крамера

1.3 Геометрические векторы

ОПР: Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой

ОБОЗНАЧЕНИЕ:   или   , точка A – начало вектора, точка B – конец вектора.

ОПР: Длиной отрезка AB называется длина (модуль) вектора .

ОБОЗНАЧЕНИЕ:   или   ,

ОПР: Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.

ОПР: Тройка векторов  называется правой, если смотря из конца третьего вектора  кратчайший поворот от первого вектора  ко второму  будет виден как движение против часовой стрелки.

Если движение видно по часовой стрелке, то тройка векторов  называется левой.

ОПР: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Если , то .

ПРИМЕР: Найти длину вектора.

ОПР: Если вектор , где  и , то:

.

ПРИМЕР: Даны точки  и . Найти расстояние между двумя точками  и .

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим вектор , по формуле:

;

.

1.4 Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов

Если , , то ;

2. Вычитание векторов

3. Умножение вектора на скаляр

Если ,  – число, то

.

ПРИМЕР:

Даны: , , .

Найти:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

РЕШЕНИЕ:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ,

;

6) ,

,

;

УПРАЖНЕНИЯ: Даны точки , , . Найти:

1.5 Скалярное произведение двух векторов

ОПР: Скалярным произведением вектора  на  называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

ОБОЗНАЧЕНИЕ: .

Свойства скалярного произведения:

1.  ;

2.  ;

3. 

4.   – скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля;

5.  ;

6.  Условие ортогональности двух векторов  и : Если  и  – ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны: ;

7.  Скалярное произведение в координатной форме: Если векторы заданы своими координатами  и , то . Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Геометрический смысл скалярного произведения:

ПРИМЕР: Найти скалярное произведение векторов, если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По определению скалярного произведения  , то .

ПРИМЕР: Найти скалярное произведение векторов, если ; .

РЕШЕНИЕ: По свойству №7     получим  .

ПРИМЕР: Доказать что векторы  и  ортогональны, если ; .

РЕШЕНИЕ: По свойству №6 , если ,   векторы не являются ортогональными.

ПРИМЕР: Найти угол между двумя векторами  и , если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По свойству №5 , , .

ПРИМЕР: Найти скалярное произведение , если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По определению скалярного произведения и свойству №3 

ПРИМЕР: Найти , если , если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По геометрическому смыслу скалярного произведения , по определению скалярного произведения ,

.

УПРАЖНЕНИЯ:

1.6 Векторное произведение

ОПР: Векторным произведением вектора  на вектор  называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах;

2)  и ;

3) тройка  – правая

ОБОЗНАЧЕНИЕ:

.

Свойства векторного произведения:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  Условие коллинеарности двух векторов:

Векторное произведение равно нуль–вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны , то | |, если , ;

5)  Векторное произведение в координатной форме:

Если , , то

.

Геометрический смысл векторного произведения:

 и .

ПРИМЕР: Найти модуль векторного произведения , если ; ; .

РЕШЕНИЕ:  По определению векторного произведения .

ПРИМЕР: Найти площадь параллелограмма построенного на векторах  и  как на сторонах, если ; ; .

РЕШЕНИЕ: 

.

ПРИМЕР: Найти , если , .

РЕШЕНИЕ: По свойству №5

,

.

УПРАЖНЕНИЯ:

1.7 Смешанное произведение трех векторов

ОПР: Смешанным произведением трех векторов называется их векторно–скалярное произведение.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:  или

Геометрический смысл векторного произведения:

Произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, со знаком «+», если тройка правая, и со знаком «–», если тройка левая.

.

Свойства смешанного произведения:

1)  ;

2)  ;

3)  Условие компланарности трех векторов:

Три вектора компланарные тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. ;

4)  Вычисление смешанного произведения в координатной форме:

Если , , , то

;

5)  Объем пирамиды: .

ПРИМЕР: Найти смешанное произведение , если , , .

РЕШЕНИЕ: по свойству №4:

.

ПРИМЕР: Доказать, что  – компланарные, если , , .

РЕШЕНИЕ: по свойству №3:

векторы копланарные.

УПРАЖНЕНИЯ:

Даны: , , .

2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1 Прямая на плоскости

Если на плоскости задана декартова система координат, то прямую на плоскости можно задать как линию пересечения плоскостей  и , т.е. уравнением:

1.  Общее уравнение прямой на плоскости: ;

2.  Уравнение прямой в отрезках: ;

3.  Уравнение прямой, проходящей через две точки  и :

4.  Если известны угловой коэффициент прямой , и  – отрезок, отсекаемый на оси , то уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: .

Если , то уравнение прямой имеет вид  и прямая параллельна