Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Мішаний добуток векторів, властивості. Геометричне тлумачення. Вираження через координати множників. Застосування

Питання, що виносяться на екзамени та заліки з вищої математики

1.  Лінійна алгебра і аналітична геометрія.

1.  Визначники різних порядків, означення, властивості, обчислення.

2.  Матриці, види матриць, лінійні операції, множення. Обертання, ранг матриць.

3.  Системи лінійних рівнянь. Розв'язування методами Крамера, Гаусса, матричним, теорема Кронкера-Капеллі.

4.  Вектори, способи задання, лінійні операції. Скалярний і векторний добутки, властивості. Практичне тлумачення, вираження через координати множників. Застосування.

5.  Мішаний добуток векторів, властивості. Геометричне тлумачення. Вираження через координати множників. Застосування.

6.  Пряма в . Різні рівняння, метричні задачі.

7.  Площина і пряма в , різні рівняння, взаємне розташування, матричні задачі.

8.  Лінії другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола). Властивості, рівняння, застосування. Прості перетворення координат на площині. Поняття про спрощення загальних рівнянь ліній другого порядку.

9.  Поверхні другого порядку, рівняння. Зображення.

10.  Параметричне задання ліній. Конкретні приклади: пряма, еліпс. Астроїда, циклоїда.

11.  Полярна система координат, її зв'язок з прямокутною декартовою, приклади ліній в полярних координатах.

12.  Циліндричні та сферичні координати в просторі.

13.  Лінійні опреатори (перетворення) і матриці. Добуток перетворень. Обернене перетворення.

14.  Власні числа і власні вектори лінійних операторів.

15.  Перетворення матриці лінійного опреатора при переході до нового базису. Ортогональні перетворення.

16.  Квадратичні форми, зведення їх до кононічного вигляду. Застосування в  і .

17.  Поняття про лінійні та евклідові простори.

2.  Диференціальне числення.

1.  Множини, дії з ними. Відображення множин, послідовність. Функція. Функціонал. Оператор. Класифікація функцій. Елементарні функції.

2.  Комплексні числа. Форми запису. Дії з числами.

3.  Границя послідовності та функції. Нескінченно малі та великі. Теореми про нескінченно малі та про границі.

4.  Неперервність функцій, означення, класифікація точок розривів, теореми про неперервність функції.

5.  Порівняння нескінченно малих.

6.  Техніка знаходження границь. Стандартні границі (перша та друга).

7.  Похідна,  означення. Практичні тлумачення. Прості застосування. Правила диференціювання. Диференційовність і неперервність.

8.  Диференціювання основних елементарних функцій, неявних і параметрично заданих функцій.

9.  Еластичність функцій. Властивості. Зв'язок з диференційовністю. Застосування.

10.  Похідні перших порядків.

11.  Диференціал. Геометричне тлумачення. Інваріантність форми першого диференціала. Застосування.

12.  Теореми про диференційовані функції (Ролля, Лагранжа, Лопіталя).

13.  Формули Тейлора і Маклорена.

14.  Похідні та елементи поведінки функцій (монотонність, екстремум, опуклість, кривина). Асимптоти. Загальна схема дослідження функцій за допомогою похідної. Практичні задачі на екстремум.

15.  Інтерполяція функцій. Многочлени Лагранжа і Ньютона. Поняття про сплайн-інтерполяцію.

16.  Наближене розв'язування рівнянь, методи хорд. Дотичних. Ітерацій. Точність і збіжність методів.

3.  Інтегральне числення

1.  Первісна і невизначений іетеграл, властивості.

2.  Невизначене інтегрування заміною змінної та частинами.

3.  Стандартна техніка невизначного інтегрування. Інтегрування з застосуванням таблиць, інтеграли, які не виражаються через елементарні функції.

4.  Визначений інтеграл, означення, властивості. Прктичне тлумачення, прості практичні задачі.

5.  Похідна інтеграла зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбница.

6.  Стандартна техніка визначеного інтегрування. Оцінки інтегралів. Інтегрування з застосуванням таблиць та пакетів програм.

7.  Геометричні застосування визначеного інтеграла (площі фігур. Довжини ліній. Об'єми деяких тіл та площі поверхонь).

8.  Деякі фізичні застосування визначеного інтеграла (робота. Сила тиску тощо). Різні схеми застосування визначеного інтеграла.

9.  Невластиві інтеграли з нескінченними межами інтегрування та від необмежених функцій. Дослідження на збіжність. Ознаки збіжності.

10.  Інтеграли, залежні від параметра. Теорема Лейбніца.

11.  Гама-функція Ейлера.

12.  Наближене обчислення визначних інтегралів. Формули прямокутників. Трапецій. Точность формул. Застосування Тейлорової формули.

13.  Подвійні інтеграли. Обчислення в декартових координатах. Інтеграл Гаусса (Пуассона).

4.Диференціальне числення функції багатьох змінних

1.  Означення функції  змінних. Границі повторні і кратні. Неперервність.

2.  Частинні похідні. Повний диференціал. Геометричне тлумачення. Застосування. Похідна складеної функції, повна похідна.

3.  Скалярне поле, похідна за напрямом. Градієнт. Практичне тлумачення.

4.  Частинні похідні і повні диференціали вищіх порядків.

5.  Тейлорова формула.

6.  Неявні функції. Існування. Диференціювання.

7.  Екстремум. Необхідні і достатні умови у випадку довільного числа змінних, гессіан.

8.  Умовний екстремум з довільним числом обмежень.

9.  Метод найменших квадратів. Випадки лінійної та квадратичної залежностей.

10.  Елементи диференціальної геометрії. Вектор-функція скалярного агумента. Її диференціювання. Основний тригранник. Формули Френе. Кривина і кручення. Система координат, пов'язана з основним тригранником. Деякі застосування в механіці.

5.Диференціальні рівняння.

1.  Основна термінологія. Диференціальні рівняння (ДР) першого порядку, існування і єдиність розв'язку задачі Коші. Інтегрування в квадратурах у стандартних випадках (рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні. Лінійні. Бернуллі).

2.  ДР вищих порядків. Задача Коші. Крайова здача. ДР, які допускають зниження порядку.

3.  Лінійна залежність та незалежність функцій. Визначник Вронського.

4.  Лінійні однорідні ДР, структура загального розв'язку. Розв'язування таких рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

5.  Лінійні неоднорідні ДР, структура загального розв'язку. Розв'язування методом варіації сталих.

6.  Розв'язування неоднорідних ДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами у випадку спеціальної правої частини.

7.  Системи ДР. Задача Коші для нормальної системи. Матирична форма нормальної системи.

8.  Розв'язування нормальної системи лінійних ДР зі сталими коефіцієнтами.

9.  Поняття стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим. Стійкість розв'язку системи лініних ДР зі сталими коефіцієнтами. Класіфікація точок спокою в простих випадках.

10.  Елементи теорії коливань з одним ступенем свободи.

11.  ДР в моделюванні природничих, інженерних, економічних ситуацій.

12.  Наближене роз'вязуваня ДР, методи ітерацій, Ейлера.

13.  Інші наближені методи розв'язування ДР, модифікації метода Ейлера. Метод Рунге-Кутта.

6. Ряди

1.  Ряди, збіжність, сума, необхідна умова збіжності, решта ряда, лінійні операції з рядами.

2.  Стандартні достатніознаки збіжності рядів з додотними членами