Функции, способы задания и свойства. Графики элементарных функций. Переменные. Простейшие зависимости

ФУНКЦИИ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ И СВОЙСТВА.

ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Переменные

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Эти слова, принадлежащие Ф. Энгельсу, ярко характеризуют новый этап в развитии математики, который связан с именами великих ученых XVII в.: Декарта, Ньютона и Лейбница. На основе их работ сформировалось понятие функции, были разработаны методы исследования функций, которые в течение трехсот лет остаются основным инструментом изучения окружающего мира с помощью математики.

Математика всегда была связана с вычислениями и формулами. Особенно много формул было получено при решении задач измерения — тысячелетия назад люди овладели формулами вычисления длин, площадей и объемов простейших фигур.

Математический анализ рассматривает формулу как соотношение между меняющимися, переменными величинами. Как изменится точность вычисления объема шара, если точность измерения его радиуса изменить на одну сотую? Это типичный вопрос математического анализа. Ответ на него можно получить с помощью преобразований, так как формула объема шара не слишком сложна. Однако ответ на аналогичный вопрос, связанный с формулой Герона, получить алгебраическими средствами трудно. Математический анализ создал методы, с помощью которых можно следить за характером изменения связанных между собой величин.

Переменная — это общий термин для обозначения различных меняющихся величин. Например, рассматривая поведение газа в замкнутом объеме, можно измерить его температуру Т, его объем V, оказываемое им давление р. Наблюдая за свободно падающим телом, можно измерить длину пути s, пройденного телом за время t, его скорость v в момент времени t, его кинетическую энергию Е в момент времени t и т. д.

В этих примерах участвуют различные переменные величины, или просто переменные.

Простейшие зависимости

В огромном море зависимостей между переменными можно выделить три типа простейших зависимостей, которые встречаются чаще всего,— это прямая и обратная пропорциональность и квадратичная зависимость.

Пусть х и у — две переменные.

1) Говорят, что переменные x и у связаны прямой пропорциональной зависимостью, если их отношение постоянно. С помощью формул эту зависимость можно записать так:  или , где k — постоянное число, .

2) Говорят, что переменные x и у связаны обратной пропорциональной зависимостью, если их произведение постоянно. Запишем эту зависимость с помощью формул  или , где c — постоянное число, .

3) Говорят, что переменная у квадратично зависит от переменной x, если ее значения можно вычислить по формуле , где a — постоянное число, .

Понятие функции. Способы задания функций

Впервые термин «функция» ввел в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет». В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {b}, по которому каждому элементу  поставлен в соответствие определенный элемент ». Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Функция обычно обозначается одной буквой, например f. Значение функции f в точке x обозначается f (x).

Первый способ задания функции: табличный. Если множество A конечно и состоит из N элементов , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе . Часто это делают в виде таблицы:

В верхней строке таблицы перечисляются все N элементов конечного