Множества. Операции над множествами. Операции над множествами могут применяться последовательно. Мощность множеств

МНОЖЕСТВА

Множества — это неопределяемое понятие. Базовые понятия любой науки являются неопределяемыми, но описываются. Под множеством понимают любую мысленную совокупность элементов. Множество считается заданным, когда про каждый объект можно однозначно сказать: принадлежит он множеству или нет. В большинстве случаев множества заданы. Различают: конечные, бесконечные и пустые множества. Пустое — это множество не содержащие элементы. Число стульев в аудитории — конечно. Число точек на прямой — бесконечно. Число говорящих рыб — пустое.

Операции над множествами

1. Объединение {1;2;3;4} U {2;4;5} = {1;2;3;4;5} Сумма множеств — это новое множество, содержащее все элементы складываемых множеств. 2. Пересечение {1;2;3;4} ∩ {2;4;5} = {2;4} Пересечение множеств — это новое множество, содержащее все общие элементы пересекаемых множеств. 3. Разность {1;2;3;4} \ {2;4;5} = {1;3} Разность множеств — это новое множество, содержащее все элементы уменьшаемого множества отличные от элементов вычитаемого.

Операции над множествами могут применяться последовательно

4. Симметрическая разность А ∆ В = (А U В)\(А ∩ В) {1;2;3;4} ∆ {2;4;5} = {1;3;5} Теория множеств была изобретена Кантором в конце 19 в., однако почти сразу в теории были обнаружены противоречия, называемые — парадоксы теории множеств. А именно: существует множества одновременно содержащие и не содержащие своих элементов. Например: парадокс Брадобрея. Брадобрей бреет тех, кто не бреет себя сам, бреет ли он сам себя? Если да, то нет. Если нет, то да.

Мощность множеств

Рассмотрим конечное множество состоящее из n элементов. Число элементов конечного множества называется его мощностью (в данном случае мощность равна n). Для бесконечных множеств различают счетные и не счетные множества. Счетными называется множество, число элементов которых совпадает с числом членов натурального ряда. Пример: Счетные множества — четные или нечетные натуральные числа. Множества, содержащее одинаковое количество элементов, называется равномощными.

Для того чтобы сравнить мощности множеств необязательно пересчитывать их элементы (для бесконечных множеств это и невозможно), достаточно сопоставить элементам одного множества элементы другого. Сопоставляя множества целых чисел и числа натурального ряда, получим что два этих множества равномощные. … –n, …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …, n, …

Рассмотрим вопрос: существуют ли несчетные множества, мощность которых отлична от мощности множества натуральных чисел. Построение. Выпишем в таблицу одно под другим все бесконечные десятичные дроби. Занумеруем каждую дробь числами натурального ряда. ................................. Выпишем дробь, отличающуюся от всех дробей в таблице. Получено противоречие, выписать все бесконечные, десятичные дроби в таблицу и занумеровать не удастся.

Равномощность множеств

Покажем, что любые два отрезка содержат одинаковое количество точек. Покажем, что интервал содержит одинаковое количество точек с прямой. Покажем, что каждой точке интервала соответствует единственная точка на прямой и наоборот.