Дифференцирование. Основные правила дифференцирования. Формулы производных основных элементарных функций

Часть 2. Дифференцирование.

Контрольная работа №2. Цель данной контрольной работы помочь студентам в овладении навыками нахождения производных функций одной переменной. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Производная функции y=f(x) обозначается либо , либо .

Сформулируем основные правила дифференцирования и приведем формулы производных основных элементарных функций:

1.                                                           10.

2.                                        11.

3.                                         12. 

4.                                                   13. 

5.                                                   14. 

6.                                                 15.

7.                                               16.

8.                                                 17. 

9.  

Отметим, что полезно запомнить частный случай формулы 5

.

Большое  значение для вычисления производных различных функций имеет следующая теорема:

Теорема о производной сложной функции. Пусть  где , тогда

или эта формула записывается в виде

Так, например, если , то формулы  5, 6, 10, 13 принимают вид:

5а. 

6а. 

10а.

13а.

Задача 1a.

Основная цель данной задачи проверить навыки дифференцирования сложной функции. Рассмотрим примеры.

Найти , где  .

Приведем подробное решение этой задачи. (Мы предполагаем, что студенты к моменту выполнения контрольной работы изучили таблицу производных основных элементарных функций.)

Функция имеет вид , где .

Воспользуемся формулой производной сложной функции. Тогда

, где . Функция u(x) имеет вид , где . Получаем  .  Функция  имеет вид , где  . Получаем ==

=.

Теперь можем записать окончательный ответ

Ответ: =.

Отметим, что нет необходимости (если вы уверенно владеете техникой дифференцирования) при выполнении контрольной работы столь подробно проводить все выкладки.

Задача. Найти , где .

Используя последовательно формулы 10, 5, 6, 4 и 5, а также правило дифференцирования сложной функции, получим:

=

=.

Отметим, что все производные по промежуточным аргументам можно выполнять в уме и непосредственно давать готовый ответ.

Задача. Найти , где .

Ответ: .

Задача 1б.

Целью данной задачи является закрепления навыков нахождения производной произведения функций.

Задача. Найти , если .

Используя формулу производной произведения, получаем

.

Далее воспользуемся формулой производной сложной функции. Получаем

.

Вычисляя табличные производные, получаем ответ.

Ответ:

.

Как мы уже упоминали ранее, при уверенном владении техникой дифференцирования в контрольной работе нет необходимости приводить столь подробное описание.

Рассмотрим еще один пример.

Задача. Найти , если

Сначала воспользуемся формулой производной произведения, а затем формулой дифференцирования сложной функции:

==

=

=.

Приведем решение еще одного примера, где все промежуточные рассуждения проведены в уме.

Задача. Найти , если .

=

Задача 1в.

Целью данной задачи является закрепления навыков нахождения производной частного.

Задача. Найти , если .